实数的范围包括有理数和无理数。
有理数:是整数与分数的集合,整数又分为负整数,0,正整数。如-10,0,20,都属于整数。分数里面会涉及小数部分,有理数里面的小数是有限或无限循环小数的集合,这里用分数比较直观。
无理数:无限不循环分数称为无理数,也定义为实数范围内,不能用分数表示的数。我们经常用到的圆周率,它就是一个比较经典的无理数。
无理数的发现是数学史中的一件大事。公元前五百多年前希腊有一个毕达哥拉斯学派。他们认为任意两条直线都有公度,也即对于任意给定的长度分别为a,b的线段,总有一条长度为d的线段使得a=md,b=nd,其中m,n为正整数。该学派证明的许多定理都是建立在这一假定的基础之上。
完整的实数概念出现在19世纪,通常人们归功于戴德金(1831-1916)及康托(1845-1918)等人。他们分别给出了实数的严格定义,他们的定义形异而实同,本质上都是将无理数视作有理数逼近的结果。严格的实数理论的建立是分析学发展的必然结果。它与极限理论的基础及连续函数的基本性质的证明紧密相关。
毕达哥拉斯(公元前580-前501年),古希腊著名数学家与哲学家。他组织的学派十分重视数学,试图用数解释万物。该学派特别强调逻辑演绎。当时他们已经掌握相当一批几何定理的证明,其中包括勾股定理。该学派对欧几里得《几何原本》的出现乃至欧洲的理性文明有重要影响。
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