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重心是什么的交点 有哪些性质

2023-02-22 10:50:20文/周传杰

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等,重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

重心是什么的交点 有哪些性质

三角形重心定义及性质证明

三角形重心是三角形三中线的交点。当几何体为匀质物体且重力场均匀时,重心与该形中心重合。

证明一

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点。EC、FB交于G。

求证:EG=1/2CG

证明:过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE,EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

重心的性质是什么

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6.三角形ABC的重心为G,点P为其内部任意一点,则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。

7.在三角形ABC中,过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP+AC/AQ=3

8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线,所得的6个切点为Pi,则Pi均在以重心G为圆心,r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。

9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点,则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

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