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三角形三条角平分线交于一点吗

2020-12-03 16:44:29文/樊越

三角形三个角平分线相交于一点,是三角形的内心,它到三角形三边的距离相等。从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三条角平分线交于一点吗

内心性质

设△ABC的内切圆为☉O(半径r),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2,三角形内心为I:

1、三角形的三个角平分线交于一点,该点即为三角形的内心。

2、三角形的内心与三角形位置关系:现有AI交BC于点D;BI交CA于点E;CI交AB于点F,三角形内接圆分别交BC,CA,AB于X,Y,Z。

(i)IX:IY:IZ=1:1:1

(ii)BD:DC=b:c;CE:EA=c:a;AF:FB=a:b

(iii)BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)

(iv)AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))

(v)△IBC,△ICA,△IAB面积比为a:b:c

3、r=S/p。

4、△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2。

5、∠BOC=90°+∠A/2。

6、点O是平面ABC上任意一点,点O是△ABC内心的充要条件是:

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

7、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是:

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

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