1、分式的分母不等于零;
2、偶次方根的被开方数大于等于零;
3、对数的真数大于零;
4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;
5、三角函数正切函数中;余切函数中;
6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
(1)已知原函数f(x)的定义域为(a,b),求复合函数f[g(x)]的定义域:
只需解不等式a<g(x)<b,不等式的解集即为所求函数的定义域。
函数的定义域就是自变量的取值范围,复合函数f[g(x)]的自变量是x,所以求的就是x的范围,而复合函数f[g(x)]是把g(x)当作f(x)的自变量整体代入f(x)的,所以g(x)也必须在f(x)的定义域(a,b)内,即a<g(x)<b。
(2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为(a,b),求原函数f(x)的定义域:
只需根据a<x<b求出函数g(x)的值域,即得原函数f(x)的定义域。
这种情况是第一种情况反过来的,也就是原来复合函数f[g(x)]的自变量是g(x)中的x,而要求函数f(x)的定义域,相当于把复合函数f[g(x)]进行了一次换元,把g(x)整体换成了新的变量,所以函数f(x)的定义域的就是g(x)的值域。
(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;
(2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;(3)已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域。①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域;②若已知f(x)的定义域【a,b】,其复合函数f[g(x)]的定义域应由a<g(x)<b解出。
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