如果一个正整数a是某一个整数b的平方,那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。其性质如下:
(1)平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9。
(2)任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1,即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
(3)完全平方数的个位数字是奇数时,其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是6时,其十位数字必为奇数。
(4)凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数;个位数字是1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
(5)除1外,一个完全平方数分解质因数后,各个质因数的指数都是偶数,如果一个数质分解后,各个指数都为偶数,那么它肯定是个平方数。完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
(6)如果a、b是平方数,a=bc,那么c也是完全平方数。
(7)两个连续自然数的乘积一定不是平方数,两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。
(8)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。
(9)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。
(10)形式必为下列两种之一:3k,3k+1。
(11)不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型,是5的因数或倍数的数为5k型。
(12)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
(13)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
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