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二项式系数怎么算

2019-09-26 09:32:38文/宋则贤

二项式系数或组合数,是定义为形如(1 + x)的二项式n次幂展开后x的系数,其中n为自然数,k为整数,二次项系数符合等式可以由其公式证出,也可以从其在组合数学的意义推导出来。

二项式系数怎么算

二次项系数怎么算

在数学里,二项式系数或组合数,是定义为形如(1 + x)的二项式n次幂展开后x的系数(其中n为自然数,k为整数),从定义可看出二项式系数的值为整数。

广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂,此时右式则不再是多项式,而是无穷级数。二项式系数对组合数学很重要,因它的意义是从n件物件中,不分先后地选取k件的方法总数,因此也叫做组合数。从定义出发,把n个(1+x)项的乘积展开,其中任意k项的x和n−k项的1相乘得出一个x,故此x的系数是从n个选取k个的方法总数。把各项的x标记可以更清楚看出:当n=4, k=2时,(1 + x1)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = ... + x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 + ...,所以x的系数6等于从4项物件选取2项的方法总数。

二项式系数符合等式可以由其公式证出,也可以从其在组合数学的意义推导出来。如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数,这些方法可分为没有选取第n+1件,即是从其余n件选取k件;和有选取第n+1件,即是从其余n件选取k−1件。而第二式则是每个从n件选取k件的方法,也可看为选取其余n−k件的方法。

二项式定理的定义

二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。

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