一般地,我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式,其中“√”称为二次根号,“a”叫作被开方数。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以a≥0是√a为二次根式的前提条件,如√5,√(x2+1),√(x-1)(x≥1)等是二次根式,而√(-2),√(-x2-7)等都不是二次根式。
二次根式的乘除法运算
1.乘法规定:(a≥0,b≥0)二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变。
推广:(1)(a≥0,b≥0,c≥0)(2)(b≥0,d≥0)
2.乘法逆用:(a≥0,b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意:公式中的a、b可以是数,也可以是代数式,但必须满足a≥0,b≥0;
3.除法规定:(a≥0,b>0)二次根式相处,把被开方数相除,根指数不变。
推广:其中a≥0,b>0,。
方法归纳:两个二次根式相除,可采用根号前的系数与系数对应相除,根号内的被开方数与被开方数对应相除,再把除得得结果相乘。
4.除法逆用:(a≥0,b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次限式的加减法运算
1.同类二次根式:几个二次根式化成最简根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫作同类二次根式。
关键提醒:定义中强调在化成最简二次根式后,要满足“两相同,即根指数是2,被开方数相同”这一条件,这一定义的应用很广。
2.二次根式相加减
二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,找出同类次根式,然后把同类二次根式分别合并。
关键提醒:二次根式的加减和整式的加减很相似,前者是合并同类二次根式,后者为合并同类项。
相同点
1.两者都是两个代数式间的一种关系。同类项是两个单项间的关系,字母及相同字母的指数都相同的项;同类二次根式是两个二次根式间的关系,指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
2.两者都能合并,而且合并法则相同。我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类项的指数部分,把根号外的因式看做是同类项的系数部分,那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同,即“同类二次根式(或同类项)相加减,根式(字母)不变,系数相加减”。
不同点
1.判断准则不同。判断两个最简二次根式是否为同类二次根式,其依据是“被开方数是否相同”,与根号外的因式无关;而同类项的判断依据是“字母因式及其指数是否对应相同”,与系数无关。
2. 合并形式不同。
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