质数是一种自然数,它只能被1和自身整除,而不能被其他自然数整除。质数可以说是数学中的基本概念之一,也是很多数学问题的关键。质数的特性非常独特,例如只有2和3是相邻的质数。除了2之外,所有的质数都是奇数。质数的个数是无穷的,这一点已经被数学家们证明了。虽然质数在自然数中比例很小,但是它们在数学中却有着重要的地位。
质数和合数是自然数中的两种基本类型,它们的主要区别在于因数的数量和性质。以下是详细介绍:质数。质数是在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的数。换句话说,质数的因数只有1和它本身,例如2、3、5、7等。质数的个数是无穷的,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积。
合数。合数则是在自然数中,除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。换句话说,合数至少有三个因数,除了1和它本身外,还有其他的因数。例如4、6、8、9、10等。所有大于2的偶数都是合数,所有大于5的奇数中,个位为5的都是合数,所有个位为0、4、6、8的自然数都是合数。质数和合数在数学的多个领域都有广泛的应用,例如在密码学中,质数用于生成大素数,而合数则用于因数分解。
(1)质数$p$的约数只有两个:1和$p$。
(2)初等数学基本定理:任一大于1的自然数,要么本身是质数,要么可以分解为几个质数之积,且这种分解是唯一的。
(3)质数的个数是无限的。
(4)若$n$为正整数,在$n^2$到$(n+1)^2$之间至少有一个质数。
(5)若$n$为大于或等于2的正整数,在$n$到$n!$之间至少有一个质数。
(6)所有大于10的质数中,个位数只有1,3,7,9。
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