2018年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
1.(3分)﹣2的相反数是( )
A.2 B.﹣2 C.2﹣1 D.﹣
2.(3分)已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是( )
A.1 B.2 C.8 D.11
3.(3分)已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是( )
A.a>b B.|a|<|b| C.ab>0 D.﹣a>b
4.(3分)若一次函数y=(k﹣2)x+1的函数值y随x的增大而增大,则( )
A.k<2 B.k>2 C.k>0 D.k<0
5.(3分)从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛,经过三轮初赛,他们的平均成绩都是86.5分,方差分别是S甲2=1.5,S乙2=2.6,S丙2=3.5,S丁2=3.68,你认为派谁去参赛更合适( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.(3分)如图,已知BD是△ABC的角平分线,ED是BC的垂直平分线,∠BAC=90°,AD=3,则CE的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
7.(3分)把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置,则图2中的几何体的主视图为( )
A. B. C. D.
8.(3分)阅读理解:a,b,c,d是实数,我们把符号称为2×2阶行列式,并且规定:=a×d﹣b×c,例如:=3×(﹣2)﹣2×(﹣1)=﹣6+2=﹣4.二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为:;其中D=,Dx=,Dy=.
问题:对于用上面的方法解二元一次方程组时,下面说法错误的是( )
A.D==﹣7 B.Dx=﹣14
C.Dy=27 D.方程组的解为
二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
9.(3分)﹣8的立方根是 .
10.(3分)分式方程﹣=0的解为x= .
11.(3分)已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米,用科学记数法表示为 千米.
12.(3分)一组数据3,﹣3,2,4,1,0,﹣1的中位数是 .
13.(3分)若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,则b的值可能是 (只写一个).
14.(3分)某校对初一全体学生进行了一次视力普查,得到如下统计表,则视力在4.9≤x<5.5这个范围的频率为 .
视力x | 频数 |
4.0≤x<4.3 | 20 |
4.3≤x<4.6 | 40 |
4.6≤x<4.9 | 70 |
4.9≤x≤5.2 | 60 |
5.2≤x<5.5 | 10 |
15.(3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知∠DGH=30°,连接BG,则∠AGB= .
16.(3分)5个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个实数,并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人,然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来,若报出来的数如图所示,则报4的人心里想的数是 .
三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分)
17.(5分)计算:(﹣π)0﹣|1﹣2|+﹣()﹣2.
18.(5分)求不等式组的正整数解.
四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)
19.(6分)先化简,再求值:(+)÷,其中x=.
20.(6分)如图,已知一次函数y1=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y2=(k2≠0)的图象交于A(4,1),B(n,﹣2)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)请根据图象直接写出y1<y2时x的取值范围.
五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)
21.(7分)某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元,其中甲种水果8元/千克,乙种水果18元/千克.6月份,这两种水果的进价上调为:甲种水果10元千克,乙种水果20元/千克.
(1)若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同,将多支付货款300元,求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克?
(2)若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克,且甲种水果不超过乙种水果的3倍,则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元?
22.(7分)图1是一商场的推拉门,已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同(即AB=CD),将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°,将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°,其示意图如图2,求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,≈1.4)
六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)
23.(8分)某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”,随机抽取了部分学生进行调查,下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图.请你根据统计图回答下列问题:
(1)喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少?并请补全条形统计图(图2);
(2)请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名?
(3)在扇形统计图中,“篮球”部分所对应的圆心角是多少度?
(4)篮球教练在制定训练计划前,将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈,请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
24.(8分)如图,已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点D在圆上,在CD的延长线上有一点F,使DF=DA,AE∥BC交CF于E.
(1)求证:EA是⊙O的切线;
(2)求证:BD=CF.
七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)
25.(10分)如图,已知二次函数的图象过点O(0,0).A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于N,当△ANM面积最大时,求M的坐标;
(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q.过A作AC⊥x轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.
26.(10分)已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N.
(1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO;
(2)如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证:BM=AB;
(3)在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证:AN2=NC•AC.
2018年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
1.
【解答】解:﹣2的相反数是:2.
故选:A.
2.
【解答】解:设三角形第三边的长为x,由题意得:7﹣3<x<7+3,
4<x<10,
故选:C.
3.
【解答】解:由数轴可得,
﹣2<a<﹣1<0<b<1,
∴a<b,故选项A错误,
|a|>|b|,故选项B错误,
ab<0,故选项C错误,
﹣a>b,故选项D正确,
故选:D.
4.
【解答】解:由题意,得
k﹣2>0,
解得k>2,
故选:B.
5.
【解答】解:∵1.5<2.6<3.5<3.68,
∴甲的成绩最稳定,
∴派甲去参赛更好,
故选:A.
6.
【解答】解:∵ED是BC的垂直平分线,
∴DB=DC,
∴∠C=∠DBC,
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°,
∴BD=2AD=6,
∴CE=CD×cos∠C=3,
故选:D.
7.
【解答】解:从正面看是一个等腰三角形,高线是虚线,
故选:D.
8.
【解答】解:A、D==﹣7,正确;
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14,正确;
C、Dy==2×12﹣1×3=21,不正确;
D、方程组的解:x===2,y===﹣3,正确;
故选:C.
二、填空题(本大题8个小题,每小题3分,满分24分)
9.
【解答】解:∵(﹣2)3=﹣8,
∴﹣8的立方根是﹣2.
故答案为:﹣2.
10.
【解答】解:去分母得:x+2﹣3x=0,
解得:x=1,
经检验x=1是分式方程的解.
故答案为:1
11.
【解答】解:1 5000 0000=1.5×108,
故答案为:1.5×108.
12.
【解答】解:将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4,
所以这组数据的中位数为1,
故答案为:1.
13.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4×2×3>0,
解得:b<﹣2或b>2.
故答案可以为:6.
14.
【解答】解:视力在4.9≤x<5.5这个范围的频数为:60+10=70,
则视力在4.9≤x<5.5这个范围的频率为:=0.35.
故答案为:0.35.
15.
【解答】解:由折叠的性质可知:GE=BE,∠EGH=∠ABC=90°,
∴∠EBG=∠EGB.
∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG,即:∠GBC=∠BGH.
又∵AD∥BC,
∴∠AGB=∠GBC.
∴∠AGB=∠BGH.
∵∠DGH=30°,
∴∠AGH=150°,
∴∠AGB=∠AGH=75°,
故答案为:75°.
16.
【解答】解:设报4的人心想的数是x,报1的人心想的数是10﹣x,报3的人心想的数是x﹣6,报5的人心想的数是14﹣x,报2的人心想的数是x﹣12,
所以有x﹣12+x=2×3,
解得x=9.
故答案为9.
三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分)
17.
【解答】解:原式=1﹣(2﹣1)+2﹣4,
=1﹣2+1+2﹣4,
=﹣2.
18.
【解答】解:,
解不等式①,得x>﹣2,
解不等式②,得x≤,
不等式组的解集是﹣2<x≤,
不等式组的正整数解是1,2,3,4.
四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)
19.
【解答】解:原式=[+]×(x﹣3)2
=×(x﹣3)2
=x﹣3,
把x=代入得:原式=﹣3=﹣.
20.
【解答】解:(1)∵反比例函数y2=(k2≠0)的图象过点A(4,1),
∴k2=4×1=4,
∴反比例函数的解析式为y2=.
∵点B(n,﹣2)在反比例函数y2=的图象上,
∴n=4÷(﹣2)=﹣2,
∴点B的坐标为(﹣2,﹣2).
将A(4,1)、B(﹣2,﹣2)代入y1=k1x+b,
,解得:,
∴一次函数的解析式为y=x﹣1.
(2)观察函数图象,可知:当x<﹣2和0<x<4时,一次函数图象在反比例函数图象下方,
∴y1<y2时x的取值范围为x<﹣2或0<x<4.
五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)
21.
【解答】解:(1)设该店5月份购进甲种水果x千克,购进乙种水果y千克,
根据题意得:,
解得:.
答:该店5月份购进甲种水果190千克,购进乙种水果10千克.
(2)设购进甲种水果a千克,需要支付的货款为w元,则购进乙种水果(120﹣a)千克,
根据题意得:w=10a+20(120﹣a)=﹣10a+2400.
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍,
∴a≤3(120﹣a),
解得:a≤90.
∵k=﹣10<0,
∴w随a值的增大而减小,
∴当a=90时,w取最小值,最小值﹣10×90+2400=1500.
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元.
22.
【解答】解:作BE⊥AD于点E,作CF⊥AD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,如图所示.
∵AB=CD,AB+CD=AD=2,
∴AB=CD=1.
在Rt△ABE中,AB=1,∠A=37°,
∴BE=AB•sin∠A≈0.6,AE=AB•cos∠A≈0.8.
在Rt△CDF中,CD=1,∠D=45°,
∴CF=CD•sin∠D≈0.7,DF=CD•cos∠D≈0.7.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴BE∥CM,
又∵BE=CM,
∴四边形BEMC为平行四边形,
∴BC=EM,CM=BE.
在Rt△MEF中,EF=AD﹣AE﹣DF=0.5,FM=CF+CM=1.3,
∴EM=≈1.4,
∴B与C之间的距离约为1.4米.
六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)
23.
【解答】解:(1)调查的总人数为8÷16%=50(人),
喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14(人),
所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=×100%=28%,
补全条形统计图如下:
(2)500×12%=60,
所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名;
(3),篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°;
(4)画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2,
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率==.
24.
【解答】证明:(1)连接OD,
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆,
∴∠OAC=30°,∠BCA=60°,
∵AE∥BC,
∴∠EAC=∠BCA=60°,
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°,
∴AE是⊙O的切线;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠ADF=∠ABC=60°,
∵AD=DF,
∴△ADF是等边三角形,
∴AD=AF,∠DAF=60°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,
即∠BAF=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
∵,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF.
七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)
25.
【解答】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3,
∴B点坐标为(6,0),
设抛物线解析式为y=ax(x﹣6),
把A(8,4)代入得a•8•2=4,解得a=,
∴抛物线解析式为y=x(x﹣6),即y=x2﹣x;
(2)设M(t,0),
易得直线OA的解析式为y=x,
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把B(6,0),A(8,4)代入得,解得,
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12,
∵MN∥AB,
∴设直线MN的解析式为y=2x+n,
把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=﹣2t,
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t,
解方程组得,则N(t,t),
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
=•4•t﹣•t•t
=﹣t2+2t
=﹣(t﹣3)2+3,
当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0);
(3)设Q(m,m2﹣m),
∵∠OPQ=∠ACO,
∴当=时,△PQO∽△COA,即=,
∴PQ=2PO,即|m2﹣m|=2|m|,
解方程m2﹣m=2m得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,28);
解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0(舍去),m2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,4);
∴当=时,△PQO∽△CAO,即=,
∴PQ=PO,即|m2﹣m|=|m|,
解方程m2﹣m=m得m1=0(舍去),m2=8(舍去),
解方程m2﹣m=﹣m得m1=0(舍去),m2=2,此时P点坐标为(2,﹣1);
综上所述,P点坐标为(14,28)或(﹣2,4)或(2,﹣1).
26.
【解答】解:(1)∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O,
∴OD=OA,∠AOM=∠DON=90°,
∴∠OND+∠ODN=90°,
∵∠ANH=∠OND,
∴∠ANH+∠ODN=90°,
∵DH⊥AE,
∴∠DHM=90°,
∴∠ANH+∠OAM=90°,
∴∠ODN=∠OAM,
∴△DON≌△AOM,
∴OM=ON;
(2)连接MN,
∵EN∥BD,
∴∠ENC=∠DOC=90°,∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD,
∴EN=CN,同(1)的方法得,OM=ON,
∵OD=OD,
∴DM=CN=EN,
∵EN∥DM,
∴四边形DENM是平行四边形,
∵DN⊥AE,
∴▱DENM是菱形,
∴DE=EN,
∴∠EDN=∠END,
∵EN∥BD,
∴∠END=∠BDN,
∴∠EDN=∠BDN,
∵∠BDC=45°,
∴∠BDN=22.5°,
∵∠AHD=90°,
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°,
∵∠ABM=45°,
∴∠BAM=67.5°=∠AMB,
∴BM=AB;
(3)设CE=a(a>0)
∵EN⊥CD,
∴∠CEN=90°,
∵∠ACD=45°,
∴∠CNE=45°=∠ACD,
∴EN=CE=a,
∴CN=a,
设DE=b(b>0),
∴AD=CD=DE+CE=a+b,
根据勾股定理得,AC=AD=(a+b),
同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN,
∵∠OAD=∠ODC=45°,
∴∠EDN=∠DAE,∵∠DEN=∠ADE=90°,
∴△DEN∽△ADE,
∴,
∴,
∴a=b(已舍去不符合题意的)
∴CN=a=b,AC=(a+b)=b,
∴AN=AC﹣CN=b,
∴AN2=2b2,AC•CN=b•b=2b2
∴AN2=AC•CN.