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素数的定义 素数有关知识点

2023-02-20 17:18:22文/周传杰

素数又叫质数(prime number),有无限个。质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。在一个大于1的数a和它的2倍之间必存在至少一个素数。一个偶数可以写成两个合数之和,其中每一个合数都最多只有9个质因数。

素数的定义 素数有关知识点

素数是什么

质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数(规定1既不是质数也不是合数)。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn。如果 为素数,则 要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的素数集合中。如果N+1为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和N+1的最大公约数是1,所以不可能被p1,p2,……,pn整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个。

素数相关知识点

1、素性检测一般用于数学或者加密学领域。用一定的算法来确定输入数是否是素数。不同于整数分解,素性测试一般不能得到输入数的素数因子,只说明输入数是否是素数。大整数的分解是一个计算难题,而素性测试是相对更为容易(其运行时间是输入数字大小的多项式关系)。

2、素性测试通常是概率测试(不能给出100%正确结果)。这些测试使用除输入数之外,从一些样本空间随机出去的数;通常,随机素性测试绝不会把素数误判为合数,但它有可能为把一个合数误判为素数。

3、数被利用在密码学上,所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。

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