反三角函数概述 基本运算方法

反三角函数概述：反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ，反正割，反余割为x的角。

反三角函数概述

反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ，反正割，反余割为x的角。

三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

反三角函数分类

反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数

反三角函数基本运算方法

反三角函数的运算主要包括三类：一类是直接求反三角函数的值，它的值是一个角度，或弧度；第二类是运用反三角函数的运算法则和公式进行运算；最后一类主要出现在高数中，包括求与反三角函数有关的极限、导数、微分和积分等。

第一类反三角函数的运算，又包括求特殊角度或弧度，和求一般角度和弧度两种。

与三角函数类似的，我们知道，30度、45度和60度或对应的弧度的三角函数都是已知的，因此，这几个角度的三角函数值对应的反三角函数，就是可求的。比如，sin30度=1/2，所以arcsin(1/2)=30度。可以近似地把求反三角函数的过程，看作是求三角函数的逆过程。因为它们之间带有互为反函数的意义，不过它们只在三角函数的一个特定周期内互为反函数，这点一定要注意。

另外，比如15度，18度，75度等，这些可以利用三角函数公式求得三角函数值的角度或弧度，它们的三角函数值的反三角函数，也是可求的。例如：arcsin((根号6-根号2)/4)=15度。

最后就是那些只能通过查三角函数表，或利用计算器求得的三角函数值，它们的反三角函数，同样也只能通过查反三角函数表，或利用计算器求得了。比如arcsin0.1约等于5.74度，即5度44分24秒。

第二类运算常用的反三角函数运算法则和公式包括：

(1)cos(arcsinx)=sin(arccosx)=根号(1-x^2)；

(2)arcsin(-x)=-arcsinx；

(3)arccos(-x)=π-arccosx；

(4)acrtan(-x)=-arcctanx；

(5)arccot=π-arccotx；

(6)arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2等；

举个最简单的例子，比如计算：arccos(-0.2)-arcsin0.2

利用公式(3)(6)，原式=π-arccos0.2-arcsin0.2=π-(arcsin0.2+arccos0.2)=π-π/2=π/2

第三类运算主要是基于反三角函数的导函数，以及上面两类运算的。几个反三角函数的导数分别是：

(arcsinx)'=1/根号(1-x^2)； (arccosx)'=-1/根号(1-x^2)；

(arctanx)'=1/(1+x^2)； (arccotx)'=-1/(1+x^2)；

例如：求lim(x->0)∫(0->x)(arcsintdt/x^2)；

原式=lim(x->0)(arcsinx/(2x))=lim(x->0)((1/根号(1-x^2))/2)=1/2；