2.以下列长度的三条线段为边,能组成三角形的是( )
A.3,3,3 B.3,3,6 C.3,2,5 D.3,2,6
3.把代数式3x3﹣6x2y+3xy2分解因式,结果正确的是( )
A.x(3x+y)(x﹣3y) B.3x(x2﹣2xy+y2) C.x(3x﹣y)2 D.3x(x﹣y)2
4.人体中成熟红细胞的平均直径为0.0000077m,用科学记数法表示为( )
A.7.7×10﹣5m B.77×10﹣6m C.77×10﹣5m D.7.7×10﹣6m
5.若a>b,则下列不等式变形错误的是( )
A.a+1>b+1 B.> C.4﹣3a>4﹣3b D.3a﹣4>3b﹣4
6.已知32m=8n,则m、n满足的关系正确的是( )
A.4m=n B.5m=3n C.3m=5n D.m=4n
7(石家庄中考数学).如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数等于( )
A.20° B.30° C.50° D.55°
8.计算(a+b)(﹣a+b)的结果是( )
A.b2﹣a2 B.a2﹣b2 C.﹣a2﹣2ab+b2 D.﹣a2+2ab+b2
9.如果不等式(a+1)x<a+1的解集为x>1,那么a的取值范围是( )
A.a<1 B.a<﹣1 C.a>1 D.a>﹣1
10.如图,在10×6的网格中,每个小方格的边长都是1个单位,将△ABC平移到△DEF的位置,下面正确的平移步骤是( )
A.先把△ABC向左平移5个单位,再向下平移2个单位
B.先把△ABC向右平移5个单位,再向下平移2个单位
C.先把△ABC向左平移5个单位,再向上平移2个单位
D.先把△ABC向右平移5个单位,再向上平移2个单位
11.以下说法中,正确的个数有( )
(1)三角形的内角平分线、中线、高都是线段;
(2)三角形的三条高一定都在三角形的内部;
(3)三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形;
(4)三角形的3个内角中,至少有2个角是锐角.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如果方程组的解为,那么被“★”“■”遮住的两个数分别是( )
A.10,4 B.4,10 C.3,10 D.10,3
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
13.因式分解:x﹣x3= .
14.(﹣)﹣2﹣(π﹣3.14)0+(﹣)2017×()2017= .
15.不等式组的解集是0<x<2,那么a+b的值等于 .
16.如图,l1∥l2,∠1=120°,∠2=100°,则∠3= 度.
17.(石家庄中考数学)由方程组,可以得到x+y+z的值是 .
18.如图,在△ABC中,已知点D为BC上一点,E,F分别为AD,BE的中点,且S△ABC=8cm2,则图中阴影部分△CEF的面积是 cm2.
19.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 .
20.我们把分子为1的分数叫做单位分数,如,,…,任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和,如=+, =+, =+,…,请你根据对上述式子的观察,把表示为两个单位分数之和应为 .
三、解答题(本大题共5小题,共52分)
21.(1)先化简,再求值:x2﹣(x+2)(2﹣x)﹣2(x﹣5)2,其中x=3.
(2)解不等式组,并求它的整数解.
22.如图,已知点O是△ABC的两条角平分线的交点,
(1)若∠A=30°,则∠BOC的大小是 ;
(2)若∠A=60°,则∠BOC的大小是 ;
(3)若∠A=n°,则∠BOC的大小是多少?试用学过的知识说明理由.
23.(石家庄中考数学)如图,已知四边形ABCD中,∠D=100°,AC平分∠BCD,且∠ACB=40°,∠BAC=70°.
(1)AD与BC平行吗?试写出推理过程;
(2)求∠DAC和∠EAD的度数.
24.(1)如图1,在边长为a的正方形中,画出两个长方形阴影,则阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的长是 ,宽是 ,面积是 (写成多项式乘法的形式);
(3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 (用式子表达);
(4)运用你所得到的公式计算:
①10.3×9.7
②(2m+n﹣p)(2m﹣n+p)
25.在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中,栾城区污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台,对城区周边污水进行处理.已知每台A型设备价格为12万元,每台B型设备价格为10万元;1台A型设备和2台B型设备每周可以处理污水640吨,2台A型设备和3台B型设备每周可以处理污水1080吨.
(1)求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)要想使污水处理厂购买设备的资金不超过230万元,但每周处理污水的量又不低于4500吨,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少?
石家庄中考数学参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题2分,共24分)
1.在下列计算中,正确的是( )
A.(ab2)3=ab6 B.(3xy)3=9x3y3 C.(﹣2a2)2=﹣4a4 D.(﹣2)﹣2=
【考点】6F:负整数指数幂;47:幂的乘方与积的乘方.
【分析】分别根据负整数指数幂的运算、积的乘方与幂的乘方进行依次计算即可.
【解答】解:A、错误,结果应为a3b6;
B、错误,结果应为27x3y3;
C、错误,结果应为4a4;
D、正确.
故选D.
2.以下列长度的三条线段为边,能组成三角形的是( )
A.3,3,3 B.3,3,6 C.3,2,5 D.3,2,6
【考点】K6:三角形三边关系.
【分析】三角形的三条边必须满足:任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边.
【解答】解:A中,3+3>3,能构成三角形;
B中,3+3=6,不能构成三角形;
C中,3+2=5,不能构成三角形;
D中,3+2<6,不能构成三角形.
故选A.
3.(石家庄中考数学)把代数式3x3﹣6x2y+3xy2分解因式,结果正确的是( )
A.x(3x+y)(x﹣3y) B.3x(x2﹣2xy+y2) C.x(3x﹣y)2 D.3x(x﹣y)2
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提公因式3x,再利用完全平方公式分解因式.
【解答】解:3x3﹣6x2y+3xy2,
=3x(x2﹣2xy+y2),
=3x(x﹣y)2.
故选D.
4.人体中成熟红细胞的平均直径为0.0000077m,用科学记数法表示为( )
A.7.7×10﹣5m B.77×10﹣6m C.77×10﹣5m D.7.7×10﹣6m
【考点】1J:科学记数法—表示较小的数.
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成(a×10的n次幂的形式),其中1≤|a|<10,n表示整数.n为整数位数减1,即从左边第一位开始,在首位非零的后面加上小数点,再乘以10的n次幂.此题n<0,n=﹣6.
【解答】解:0.000 007 7=7.7×10﹣6.
故选D.
5.若a>b,则下列不等式变形错误的是( )
A.a+1>b+1 B.> C.4﹣3a>4﹣3b D.3a﹣4>3b﹣4
【考点】C2:不等式的性质.
【分析】根据不等式的性质,可得答案.
【解答】解:A、两边都加1,不等号的方向不变,故A不符合题意;
B、两边都除以2,不等号的方向不变,故B不符合题意;
C、两边都乘以﹣3,不等号的方向改变,故C符合题意;
D、都乘以3,都减4,不等号的方向不变,故D不符合题意;
故选:C.
(石家庄中考数学)
6.已知32m=8n,则m、n满足的关系正确的是( )
A.4m=n B.5m=3n C.3m=5n D.m=4n
【考点】47:幂的乘方与积的乘方.
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形,进而得出答案.
【解答】解:∵32m=8n,
∴(25)m=(23)n,
∴25m=23n,
∴5m=3n.
故选:B.
7.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数等于( )
A.20° B.30° C.50° D.55°
【考点】JA:平行线的性质;K8:三角形的外角性质.
【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数,再由三角形外角的性质即可得出结论.
【解答】解:∵直尺的两边互相平行,∠2=50°,
∴∠4=∠2=50°.
∵∠1=30°,
∴∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°.
故选A.
8.计算(a+b)(﹣a+b)的结果是( )
A.b2﹣a2 B.a2﹣b2 C.﹣a2﹣2ab+b2 D.﹣a2+2ab+b2
【考点】4F:平方差公式.
【分析】原式利用平方差公式化简,即可得到结果.
【解答】解:(a+b)(﹣a+b)=(b+a)(b﹣a)=b2﹣a2.
故选A.
9.如果不等式(a+1)x<a+1的解集为x>1,那么a的取值范围是( )
A.a<1 B.a<﹣1 C.a>1 D.a>﹣1
【考点】C2:不等式的性质.
【分析】根据不等式的基本性质进行计算即可.
【解答】解:(a+1)x<a+1,
当a+1<0时x>1,
所以a+1<0,解得a<﹣1,
故选:B.
10.(石家庄中考数学)如图,在10×6的网格中,每个小方格的边长都是1个单位,将△ABC平移到△DEF的位置,下面正确的平移步骤是( )
A.先把△ABC向左平移5个单位,再向下平移2个单位
B.先把△ABC向右平移5个单位,再向下平移2个单位
C.先把△ABC向左平移5个单位,再向上平移2个单位
D.先把△ABC向右平移5个单位,再向上平移2个单位
【考点】Q1:生活中的平移现象.
【分析】根据网格结构,可以利用一对对应点的平移关系解答.
【解答】解:根据网格结构,观察对应点A、D,点A向左平移5个单位,再向下平移2个单位即可到达点D的位置,
所以平移步骤是:先把△ABC向左平移5个单位,再向下平移2个单位.
故选:A.
11.以下说法中,正确的个数有( )
(1)三角形的内角平分线、中线、高都是线段;
(2)三角形的三条高一定都在三角形的内部;
(3)三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形;
(4)三角形的3个内角中,至少有2个角是锐角.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】K7:三角形内角和定理;K2:三角形的角平分线、中线和高.
【分析】分别根据三角形的内角平分线、中线、高的定义及三角形内角和定理进行逐一判断即可.
【解答】解:(1)正确,符合三角形的内角平分线、中线、高的定义;
(2)错误,当三角形为直角三角形或钝角三角形时不成立;
(3)正确,可根据三角形的中线把原三角形分成的小三角形中,一个小三角形与原三角形同底但高为原三角形的一半进行证明;
(4)正确,根据三角形的内角和定理即可证明.
故选C.
12.(石家庄中考数学)如果方程组的解为,那么被“★”“■”遮住的两个数分别是( )
A.10,4 B.4,10 C.3,10 D.10,3
【考点】97:二元一次方程组的解.
【分析】把代入2x+y=16先求出■,再代入x+y求★.
【解答】解:把代入2x+y=16得12+■=16,解得■=4,
再把代入x+y=★得★=6+4=10,
故选:A.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
13.因式分解:x﹣x3= x(1+x)(1﹣x) .
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式x,然后运用平方差公式继续分解因式.
【解答】解:x﹣x3,
=x(1﹣x2),
=x(1+x)(1﹣x).
14.(﹣)﹣2﹣(π﹣3.14)0+(﹣)2017×()2017= 2 .
【考点】47:幂的乘方与积的乘方;2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂.
【分析】根据非零的零次幂,负整数指数幂,积得乘方,以及负数的奇数次幂可得答案.
【解答】解:原式=4﹣1+(﹣1)
=2.
故答案为2.
15.不等式组的解集是0<x<2,那么a+b的值等于 1 .
【考点】CB:解一元一次不等式组.
【分析】分别将a、b看做常数求出每个不等式解集,根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组,解方程组可得a、b的值,代入计算可得.
【解答】解:解不等式x+2a>4,得:x>﹣2a+4,
解不等式2x﹣b<5,得:x<,
∵不等式组的解集是0<x<2,
∴,
解得:a=2,b=﹣1,
∴a+b=1,
故答案为:1.
16.(石家庄中考数学)如图,l1∥l2,∠1=120°,∠2=100°,则∠3= 40 度.
【考点】JA:平行线的性质.
【分析】过点A作l1的平行线,根据平行线的性质,即可求解.
【解答】解:过点A作AB∥l1,则l1∥AB∥l2.
∴∠1+∠CAB=180°,
∴∠BAC=180°﹣120°=60°.
∴∠DAB=∠2﹣∠BAC=100°﹣60°=40°.
∵AB∥l2
∴∠3=∠DAB=40°.
故答案为:40.
17.由方程组,可以得到x+y+z的值是 3 .
【考点】9C:解三元一次方程组.
【分析】根据方程组,三个方程相加,即可得到x+y+z的值.
【解答】解:∵
①+②+③,得
2x+2y+2z=6,
∴x+y+z=3,
故答案为:3.
18.(石家庄中考数学)如图,在△ABC中,已知点D为BC上一点,E,F分别为AD,BE的中点,且S△ABC=8cm2,则图中阴影部分△CEF的面积是 2 cm2.
【考点】K3:三角形的面积.
【分析】由点E为AD的中点,可得△ABC与△BCE的面积之比,同理可得,△BCE和△EFC的面积之比,即可解答出;
【解答】解:如图,
∵E为AD的中点,
∴S△ABC:S△BCE=2:1,
同理可得,S△BCE:S△EFC=2:1,
∵S△ABC=8cm2,
∴S△EFC=S△ABC=8=2cm2;
故答案为:2.
19.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 360° .
【考点】L3:多边形内角与外角;K7:三角形内角和定理;K8:三角形的外角性质.
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠A+∠B=∠1,∠E+∠F=∠2,∠C+∠D=∠3,再根据三角形的外角和是360°进行解答.
【解答】解:∵∠1是△ABG的外角,
∴∠1=∠A+∠B,
∵∠2是△EFH的外角,
∴∠2=∠E+∠F,
∵∠3是△CDI的外角,
∴∠3=∠C+∠D,
∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角,
∴∠1+∠2+∠3=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
故答案为:360°.
20.我们把分子为1的分数叫做单位分数,如,,…,任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和,如=+, =+, =+,…,请你根据对上述式子的观察,把表示为两个单位分数之和应为 =+ .
【考点】12:有理数.
【分析】根据题意得出所求两个单位分数之和即可.
【解答】解:根据题意得: =+,
故答案为: =+
三、(石家庄中考数学)解答题(本大题共5小题,共52分)
21.(1)先化简,再求值:x2﹣(x+2)(2﹣x)﹣2(x﹣5)2,其中x=3.
(2)解不等式组,并求它的整数解.
【考点】4J:整式的混合运算—化简求值;CB:解一元一次不等式组;CC:一元一次不等式组的整数解.
【分析】(1)原式利用平方差公式,完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集,进而求出整数解即可.
【解答】解:(1)原式=x2﹣4+x2﹣2x2+20x﹣50=20x﹣54,
把x=3代入得:原式=60﹣54=6;
(2),
由①得:x<4,
由②得:x≥1,
∴不等式组的解集为1≤x<4,
则不等式组的整数解为1,2,3.
22.如图,已知点O是△ABC的两条角平分线的交点,
(1)若∠A=30°,则∠BOC的大小是 105° ;
(2)若∠A=60°,则∠BOC的大小是 120° ;
(3)若∠A=n°,则∠BOC的大小是多少?试用学过的知识说明理由.
【考点】(石家庄中考数学)K7:三角形内角和定理.
【分析】(1)根据得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,等量代换得到∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°,根据三角形的内角和即可得到结论;
(2)根据得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,等量代换得到∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°,根据三角形的内角和即可得到结论;
(3)根据得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,等量代换得到∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°,根据三角形的内角和即可得到结论.
【解答】解:(1)∵如图,在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
在△BOC中,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∵BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°,
又∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠BOC=∠A+90°=105°;
(2)∵如图,在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
在△BOC中,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∵BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°,
又∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠BOC=∠A+90°=120°;
(3)∵如图,在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
在△BOC中,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∵BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°,
又∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠BOC=∠A+90°=105°;
∴若∠A=n°,∠BOC=n°+90°;
故答案为:105°,120°.
23.(石家庄中考数学)如图,已知四边形ABCD中,∠D=100°,AC平分∠BCD,且∠ACB=40°,∠BAC=70°.
(1)AD与BC平行吗?试写出推理过程;
(2)求∠DAC和∠EAD的度数.
【考点】JB:平行线的判定与性质.
【分析】(1)根据角平分线定义求出∠BCD,求出∠D+∠BCD=180°,根据平行线的判定推出即可.
(2)根据平行线的性质求出∠DAC,代入∠EAD=180°﹣∠DAC﹣∠BAC求出即可.
【解答】解:(1)AD∥BC,
理由是:∵AC平分∠BCD,∠ACB=40°,
∴∠BCD=2∠ACB=80°,
∵∠D=100°,
∴∠D+∠BCD=180°,
∴AD∥BC.
(2)∵AD∥BC,∠ACB=40°,
∴∠DAC=∠ACB=40°,
∵∠BAC=70°,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=40°+70°=110°,
∴∠EAD=180°﹣∠DAB=180°﹣110°=70°.
24.(1)如图1,在边长为a的正方形中,画出两个长方形阴影,则阴影部分的面积是 a2﹣b2 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的长是 a+b ,宽是 a﹣b ,面积是 (a+b)(a﹣b) (写成多项式乘法的形式);
(3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) (用式子表达);
(4)运用你所得到的公式计算:
①10.3×9.7
②(2m+n﹣p)(2m﹣n+p)
【考点(石家庄中考数学)】4G:平方差公式的几何背景.
【分析】(1)第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积,等于a2﹣b2;
(2)第二个图形阴影部分是一个长是(a+b),宽是(a﹣b)的长方形,面积是(a+b)(a﹣b);
(3)根据这两个图形的阴影部分的面积相等即可得到结论;
(4)根据平方差公式即可得到结论.
【解答】解:(1)∵大正方形的面积=a2,小正方形的面积=b2,
∴阴影部分的面积为:a2﹣b2,
故答案为:a2﹣b2;
(2)将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的长是a+b,宽是a﹣b,面积是(a+b)(a﹣b);
故答案为:a+b,a﹣b,(a+b)(a﹣b);
(3)因而得到乘法公式是a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);
故答案为:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);
(4)①10.3×9.7=(10+0.3)(10﹣0.3)=100﹣0.09=99.91;
②(2m+n﹣p)(2m﹣n+p)=[2m+(n﹣p)][2m﹣(n﹣p)]=(2m)2﹣(n﹣p)2=4m2﹣n2+2np﹣p2.
25.在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中,栾城区污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台,对城区周边污水进行处理.已知每台A型设备价格为12万元,每台B型设备价格为10万元;1台A型设备和2台B型设备每周可以处理污水640吨,2台A型设备和3台B型设备每周可以处理污水1080吨.
(1)求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)要想使污水处理厂购买设备的资金不超过230万元,但每周处理污水的量又不低于4500吨,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少?
【考点】CE:一元一次不等式组的应用;9A:二元一次方程组的应用.
【分析】(1)根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨,2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨,可以列出相应的二元一次方程组,从而解答本题;
(2)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以得到购买方案,从而可以算出每种方案购买资金,从而可以解答本题.
【解答】(石家庄中考数学)解:(1)设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨,B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨,依题意有
,
解得.
即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨,B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨;
(2)设购买A型污水处理设备x台,则购买B型污水处理设备(20﹣x)台,
则,
解得12.5≤x≤15,
第一种方案:当x=13时,20﹣x=7,花费的费用为:13×12+7×10=226万元;
第二种方案:当x=14时,20﹣x=6,花费的费用为:14×12+6×10=228万元;
第三种方案;当x=15时,20﹣x=5,花费的费用为:15×12+5×10=230万元;
即购买A型污水处理设备13台,则购买B型污水处理设备7台时,所需购买资金最少,最少是226万元.
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