2018廊坊市中考数学模拟试题【解析版含答案】

由于格式问题此试题可能会出现乱码的情况

为了方便您阅读请点击右上角的全屏查看

2018廊坊市中考数学模拟试题

一、选择题（共16小题，每小题3分，满分48分）

1．下列图形是中心对称图形的是（　　）

A．              B．              C．              D．

2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．x+2y=1              B．2x（x﹣1）=2x2+3              C．x2﹣2=0              D．3x+=4

3．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（　　）

A．（1．﹣2）              B．（﹣1．﹣2 ）              C．（1.2）              D．（﹣1.2）

4．一元二次方程x（x+5）=0的根是（　　）

A．x1=0，x2=5              B．x1=0，x2=﹣5              C．x1=0，x2=              D．x1=0，x2=﹣

5．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（　　）

A．x=﹣2              B．x=2              C．x=1              D．x=﹣1

6．在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（　　）

A．2个              B．3个              C．4个              D．5个

7．（廊坊中考数学）矩形的对角线相交于点 O，过点O 的直线交AD，BC 于点E，F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．6              B．3              C．5              D．2

8．一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）

A．3，﹣4，﹣5              B．3，﹣4，5              C．3，4，5              D．3，4，﹣5

9．如图，把4张扑克牌放在桌上，然后把其中三张扑克牌绕自身中心旋转180°后，得到下列图示．你知道哪一张扑克牌没被旋转过吗？（　　）

A．              B．              C．              D．

10．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）

A．x＞1              B．x≥0              C．x≤0              D．x＜1

11．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　）

A．y=（x+2）2+3              B．y=（x﹣2）2+3              C．y=（x+2）2﹣3              D．y=（x﹣2）2﹣3

12．在平面直角坐标系中，点A（2016，2017）关于原点O对称的点A′的坐标为（　　）

A．（﹣2016，2017）              B．（2016，﹣2017）              C．（2016，2017）              D．（﹣2016，﹣2017）

13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图示，下列结论：

①2a+b=0；

②a+c＞b；

③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；

④abc＞0

其中正确的结论是（　　）

A．①④              B．②④              C．①③④              D．②③④

14．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（　　）

A．（x﹣1）2=4              B．（x﹣1）2=﹣4              C．（x+1）2=4              D．（x+1）2=﹣4

15．由二次函数y=2（x﹣3）2+1可知（　　）

A．其图象的开口向下              B．其图象的对称轴为x=﹣3

C．其最大值为1              D．当x＜3时，y随x的增大而减小

16．（廊坊中考数学）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A．35°              B．40°              C．50°              D．65°

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）

17．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　（只填序号）．

18．如图，给一幅长8m，宽5m的矩形风景画（图中阴影部分）镶一个画框，若设画框的宽均为xm，装好画框后总面积为70m2，则根据题意可列方程为　　．

19．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是　　．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是　　．

三、（廊坊中考数学）解答题（共5小题，满分60分）

21．（8分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．

22．（12分）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（1，1）和（3，4），

（1）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90度得到的△A′B′C′

（2）画出△ABC关于原点对称的△DEF；

（3）写出C与C′的距离　　．

23．（10分）已知二次函数的图象经过（1，﹣4）点，且顶点坐标为（﹣1，0），求此二次函数的解析式．

24．（16分）如图（1），将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

操作发现：

如图（2）：固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

（1）线段DE与线段AC的位置关系是　　．

（2）设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　　．

猜想论证：

（3）当△DEC绕点C旋转到图（3）的位置时，小明猜想．（2）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

25．（廊坊中考数学）（14分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；

为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．

廊坊中考数学参考答案与试题解析

一、选择题（共16小题，每小题3分，满分48分）

1．下列图形是中心对称图形的是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．

2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．x+2y=1              B．2x（x﹣1）=2x2+3              C．x2﹣2=0              D．3x+=4

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】依据一元二次方程的定义回答即可．

【解答】解：A、x+2y=1，含有两个未知数，故不是一元二次方程，故A错误；

B、方程2x（x﹣1）=2x2+3可变形为﹣2x=3，故不是一元二次方程，故B错误；

C、方程x2﹣2=0是一元二次方程，故C正确；

D、方程3x+=4不是一元二次方程，故D错误．

故选：C．

【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

3．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（　　）

A．（1．﹣2）              B．（﹣1．﹣2 ）              C．（1.2）              D．（﹣1.2）

【考点】二次函数的性质．

【分析】因为y=﹣（x+1）2﹣2是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．

【解答】解：∵抛物线解析式为y=﹣（x+1）2﹣2，

∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．

故选B．

【点评】根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．

　（廊坊中考数学）

4．一元二次方程x（x+5）=0的根是（　　）

A．x1=0，x2=5              B．x1=0，x2=﹣5              C．x1=0，x2=              D．x1=0，x2=﹣

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】利用分解因式法即可求解．

【解答】解：∵x（x+5）=0，

∴x=0或x+5=0，

解得：x1=0，x2=﹣5，

故选：B．

【点评】此题主要考查了利用因式分解的方法解一元二次方程，解题的关键是熟练进行分解因式．

5．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（　　）

A．x=﹣2              B．x=2              C．x=1              D．x=﹣1

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可．

【解答】解：y=x2﹣2x+3中，

a=1，b=﹣2，c=3，

x=﹣=﹣=1．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的对称轴公式是解题的关键．

6．在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（　　）

A．2个              B．3个              C．4个              D．5个

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中成中心对称图形的字母．

【解答】解：H、I、N是中心对称图形，所以是中心对称图形的有3个．故选B．

【点评】本题比较容易，考查识别图形的对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．

7．矩形的对角线相交于点 O，过点O 的直线交AD，BC 于点E，F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．6              B．3              C．5              D．2

【考点】矩形的性质．

【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△OBF≌△ODE，图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．

【解答】解：根据矩形的对称性质得△OBF≌△ODE，

属于图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．

S△ADC=CD×AD=×2×3=3．

故选：B．

【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．

8．（廊坊中考数学）一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）

A．3，﹣4，﹣5              B．3，﹣4，5              C．3，4，5              D．3，4，﹣5

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

【解答】解：一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣4，﹣5．

故选A．

【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

9．如图，把4张扑克牌放在桌上，然后把其中三张扑克牌绕自身中心旋转180°后，得到下列图示．你知道哪一张扑克牌没被旋转过吗？（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】中心对称图形．

【分析】利用中心对称图形的定义分析得出即可．

【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，正确把握定义是解题关键．

10．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）

A．x＞1              B．x≥0              C．x≤0              D．x＜1

【考点】二次函数的性质．

【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y=﹣（x+1）2﹣1，由于a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，根据抛物线的性质可知当x＜1时，y随x的增大而增大，即可求出．

【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，

a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，

∴当x＜1时，y随x的增大而增大，

故选D．

【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质，确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小；a＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大．

11．（廊坊中考数学）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　）

A．y=（x+2）2+3              B．y=（x﹣2）2+3              C．y=（x+2）2﹣3              D．y=（x﹣2）2﹣3

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．

【解答】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位可得y=（x﹣2）2，再向上平移3个单位可得y=（x﹣2）2+3，

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数的几何变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键．

12．在平面直角坐标系中，点A（2016，2017）关于原点O对称的点A′的坐标为（　　）

A．（﹣2016，2017）              B．（2016，﹣2017）              C．（2016，2017）              D．（﹣2016，﹣2017）

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【解答】解：点A的坐标是（2016，2017），则点A关于原点O的对称点的坐标是（﹣2016，﹣2017），

故选：D．

【点评】本题考查了点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图示，下列结论：

①2a+b=0；

②a+c＞b；

③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；

④abc＞0

其中正确的结论是（　　）

A．①④              B．②④              C．①③④              D．②③④

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据函数的对称轴，图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c=0，再结合图象分别进行判断各结论即可．

【解答】（廊坊中考数学）解：对称轴是x=﹣=1，则2a+b=0，故①正确；

当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，则a+c＜b，故②错误；

（﹣2，0）关于x=1的对称点是（4，0），则抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），故③正确；

根据开口向上可得a＞0，对称轴是x=1，则b＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴，则c＜0，则abc＞0，故④正确．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是根据二次函数的图象获得有关信息，对要求的式子进行判断．

14．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（　　）

A．（x﹣1）2=4              B．（x﹣1）2=﹣4              C．（x+1）2=4              D．（x+1）2=﹣4

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．

【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4，

配方得（x﹣1）2=4．

故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

15．由二次函数y=2（x﹣3）2+1可知（　　）

A．其图象的开口向下              B．其图象的对称轴为x=﹣3

C．其最大值为1              D．当x＜3时，y随x的增大而减小

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的解析式进行逐项判断即可．

【解答】解：

∵y=2（x﹣3）2+1，

∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，1），

∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，

故选D．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．

16（廊坊中考数学）．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A．35°              B．40°              C．50°              D．65°

【考点】旋转的性质．

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．

【解答】解：∵CC′∥AB，

∴∠ACC′=∠CAB=65°，

∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，

∴AC=AC′，

∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，

∴∠CAC′=∠BAB′=50°．

故选C．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）

17．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　②、③、④　（只填序号）．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：①不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故错误；

②③④都是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；

⑤是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；

故本题答案为：②③④．

【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

18．如图，给一幅长8m，宽5m的矩形风景画（图中阴影部分）镶一个画框，若设画框的宽均为xm，装好画框后总面积为70m2，则根据题意可列方程为　（8+2x）（5+2x）=70　．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】整个风景画的面积=风景画的长×风景画的宽=（原矩形风景画的长+2x）×（原风景画的宽+2x），把相关数值代入即可求解．

【解答】解：∵风景画的长为0+2x，宽为5+2x，

∴可列方程为（8+2x）（5+2x）=70．

故答案为（8+2x）（5+2x）=70．

【点评】本题考查用一元二次方程解决实际问题，找到挂图的长和宽是易错点．

19（廊坊中考数学）．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是　x1=1，x2=﹣3　．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），得出另一个与x轴的交点，进而得出答案．

【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，

∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（﹣3，0），

∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=﹣3．

故答案为：x1=1，x2=﹣3．

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出抛物线与x轴的交点坐标是解题关键．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是　（﹣4，3）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，根据旋转的性质可得OA=OA′，利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′，然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等，根据全等三角形对应边相等可得OB′=AB，A′B′=OB，然后写出点A′的坐标即可．

【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，

∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，

∴OA=OA′，∠AOA′=90°，

∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，

∴∠OAB=∠A′OB′，

在△AOB和△OA′B′中，

，

∴△AOB≌△OA′B′（AAS），

∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，

∴点A′的坐标为（﹣4，3）．

故答案为：（﹣4，3）．

【点评】（廊坊中考数学）本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

三、解答题（共5小题，满分60分）

21．解方程：x2﹣2x﹣8=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】方程左边的二次三项式便于因式分解，右边为0，可运用因式分解法解方程．

【解答】解：原方程化为（x+2）（x﹣4）=0，

解得x+2=0，x﹣4=0，

x1=﹣2，x2=4．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

22．（12分）（2016秋•安次区校级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（1，1）和（3，4），

（1）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90度得到的△A′B′C′

（2）画出△ABC关于原点对称的△DEF；

（3）写出C与C′的距离　5　．

【考点】作图-旋转变换．

【分析】（1）利用网格特点和旋转的旋转化出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；

（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出D、E、F的坐标，然后描点即可；

（3）利用勾股定理计算CC′的长．

【解答】（廊坊中考数学）解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）如图，△DEF为所作；

（3）CC′==5．

故答案为5．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

23．（10分）（2016秋•安次区校级期中）已知二次函数的图象经过（1，﹣4）点，且顶点坐标为（﹣1，0），求此二次函数的解析式．

【考点】待定系数法求二次函数解析式．

【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把（﹣1，0）代入计算出a的值即可．

【解答】解：根据题意，设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，

把（﹣1，0）代入得a（﹣1﹣1）2﹣4=0，

解得a=1，

所以二次函数的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

24．（16分）（2016秋•社旗县期中）如图（1），将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

操作发现：

如图（2）：固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

（1）线段DE与线段AC的位置关系是　DE∥AC　．

（2）设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　S1=S2　．

猜想论证：

（3）当△DEC绕点C旋转到图（3）的位置时，小明猜想．（2）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

【考点】三角形综合题．

【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

（2）根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（3）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．

【解答】（1）解：DE∥AC，理由如下：

∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

故答案为：DE∥AC；

（2）解：∵∠B=30°，∠C=90°，

∴CD=AC=AB，

∴BD=AD=AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

故答案为：S1=S2；

（3）证明：∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

在△ACN和△DCM中，，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2．

【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．

25．（14分）（廊坊中考数学）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；

为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；

（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．

【解答】解：（1）由题意，得

y=（100﹣5x）（2x+4），

y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；

答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；

（2）∵y=﹣10x2+180x+400，

∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．

∵1≤x≤10的整数，

∴x=9时，y最大=1210．

答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．

【点评】本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．