2018唐山市中考数学冲刺试题【解析版含答案】

2017-12-08 16:32:27文/赵妍妍

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2018唐山市中考数学冲刺试题

一、选择题（42分）

1． |﹣2014|等于（　　）

A．﹣2014 B．2014 C．±2014 D．

2．下面的计算正确的是（　　）

A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a3 C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b

3．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）

A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．＜

4．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（　　）

A．1颗 B．2颗 C．3颗 D．4颗

5．一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（　　）

A．10，10 B．10，12.5 C．11，12.5 D．11，10

6．（唐山中考数学）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B． C． D．

7．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（　　）

A． B． C． D．

8．对于非零实数a、b，规定a⊗b=．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（　　）

A． B． C． D．﹣

9．已知（x﹣y+3）2+=0，则x+y的值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．5

10．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70°，∠C=50°，那么sin∠AEB的值为（　　）

A． B． C． D．

11．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　）

A．48 B．60 C．76 D．80

12．（唐山中考数学）如图，点D为y轴上任意一点，过点A（﹣6，4）作AB垂直于x轴交x轴于点B，交双曲线于点C，则△ADC的面积为（　　）

A．9 B．10 C．12 D．15

13．2012﹣2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（　　）

A．科比罚球投篮2次，一定全部命中

B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中

C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大

D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小

14．一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．180°

15．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）

A． B． C． D．

16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（　　）

A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3

二、（唐山中考数学）填空题（12分）

17．命题“相等的角是对顶角”是　　命题（填“真”或“假”）．

18．某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有　　种租车方案．

19．如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（5，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为　　．

20．若圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为　　cm2（结果保留π）

三、解答题

21．如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．求证：AC是⊙O的切线．

22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．

求证：平行四边形ADBE是矩形．

23．一项工程，甲，乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．

（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

24．（唐山中考数学）自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分为四类：A．特别好；B．好；C．一般；D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？

（2）求出调查中C类女生及D类男生的人数，将条形统计图补充完整；

（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

25．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；

（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

26．如图，已知一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于点B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；

（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

27．（唐山中考数学）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

唐山中考数学参考答案与试题解析

一、选择题

1．|﹣2014|等于（　　）

A．﹣2014 B．2014 C．±2014 D．

【考点】绝对值．

【分析】数的绝对值是它本身，可得一个负数的绝对值．

【解答】解=2014，

故选：B．

【点评】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．

2．下面的计算正确的是（　　）

A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a3 C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b

【考点】去括号与添括号；合并同类项．

【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案．

【解答】（唐山中考数学）解：A、6a﹣5a=a，故此选项错误；

B、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；

C、﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确；

D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了合并同类项，去括号，关键是注意去括号时注意符号的变化，注意乘法分配律的应用，不要漏乘．

3．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）

A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．＜

【考点】实数与数轴．

【分析】先由数轴观察a、b、c的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判断．

【解答】解：由数轴可以看出a＜b＜0＜c．

A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故选项错误；

B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故选项正确；

C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故选项错误；

D、∵a＜c，b＜0，∴＞，故选项错误．

故选B．

【点评】此题主要考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，比较简单．

A．1颗 B．2颗 C．3颗 D．4颗

【考点】概率公式．

【分析】先根据白色棋子的概率是，得到一个方程，再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，再得到一个方程，求解即可．

【解答】解：由题意得，

解得．

故选：B．

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=；关键是得到两个关于概率的方程．

5．（唐山中考数学）一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（　　）

A．10，10 B．10，12.5 C．11，12.5 D．11，10

【考点】中位数；加权平均数．

【分析】根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可．

【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：5，5，10，15，20，

故平均数为： =11，

中位数为：10．

故选D．

【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握其概念．

6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B． C． D．

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形，使用排除法来解答．

【解答】解：如图，俯视图为三角形，故可排除A、B．主视图以及左视图都是矩形，可排除C，

故选：D．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除法解答．

7．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（　　）

A． B． C． D．

【考点】一次函数与二元一次方程（组）．

【分析】根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．

【解答】解：∵x﹣2y=2，

∴y=x﹣1，

∴当x=0，y=﹣1，当y=0，x=2，

∴一次函数y=x﹣1，与y轴交于点（0，﹣1），与x轴交于点（2，0），

即可得出C符合要求，

故选：C．

【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．

8．（唐山中考数学）对于非零实数a、b，规定a⊗b=．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（　　）

A． B． C． D．﹣

【考点】解分式方程．

【专题】开放型．

【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．

【解答】解：根据题意得：2⊗（2x﹣1）=﹣=1，

去分母得：2﹣（2x﹣1）=4x﹣2，

去括号得：2﹣2x+1=4x﹣2，

移项合并得：6x=5，

解得：x=，

经检验是分式方程的解．

故选A．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

9．已知（x﹣y+3）2+=0，则x+y的值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．5

【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．

【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值即可．

【解答】解：∵（x﹣y+3）2+=0，

∴，解得，

∴x+y=﹣1+2=1．

故选C．

【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．

10．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70°，∠C=50°，那么sin∠AEB的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】（唐山中考数学）特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】根据三角形的内角和是180°求得∠AEB的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值求解．

【解答】解：∵∠A=70°，∠C=50°，

∴∠B=∠C=50°，∠AEB=60°，

∴sin∠AEB=．

故选D．

【点评】考查了圆周角定理、三角形的内角和是180°，还要熟记特殊角的锐角三角函数值．

11．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　）

A．48 B．60 C．76 D．80

【考点】勾股定理；正方形的性质．

【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．

【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，

∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，

∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE，

=AB2﹣×AE×BE

=100﹣×6×8

=76．

故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．

12．（唐山中考数学）如图，点D为y轴上任意一点，过点A（﹣6，4）作AB垂直于x轴交x轴于点B，交双曲线于点C，则△ADC的面积为（　　）

A．9 B．10 C．12 D．15

【考点】反比例函数综合题．

【分析】连接OA、OC，S△ADC=S△AOC，S△ABD=S△ABO，根据反比例函数中k的几何意义即可求得S△BCO，根据S△ADC=S△AOC=S△ABO﹣S△BCO求解．

【解答】解：连接OA、OC．

∵AB⊥x轴，

∴AB∥OD，

∴S△ADC=S△AOC，S△ABD=S△ABO=×6×4=12，

又∵双曲线的解析式是，

∴S△BCO=×6=3，

∴S△ADC=S△AOC=S△ABO﹣S△BCO=12﹣3=9．

故选A．

【点评】本题考查了三角形的面积公式以及反比例函数中比例系数k的几何意义，正确理解S△ADC=S△AOC，S△ABD=S△ABO，是关键．

13．2012﹣2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（　　）

A．科比罚球投篮2次，一定全部命中

B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中

C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大

D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小

【考点】概率的意义．

【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】（唐山中考数学）解：A、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项错误；

B、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项正确；

C、∵科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，

∴科比罚球投篮1次，命中的可能性较大，故本选项正确；

D、科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小，故本选项正确．

故选A．

【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．

14．一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．180°

【考点】圆锥的计算．

【专题】压轴题．

【分析】要求其圆心角，就要根据弧长公式计算，首先明确侧面展开图是个扇形，即圆的周长就是弧长．

【解答】解：∵左视图是等边三角形，∴底面直径=圆锥的母线．

故设底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，底面周长=2πr，

侧面展开图是个扇形，弧长=2πr=，所以n=180°．

故选D．

【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】当点N在AD上时，易得S△AMN的关系式；当点N在CD上时，高不变，但底边在增大，所以S△AMN的面积关系式为一个一次函数；当N在BC上时，表示出S△AMN的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可．

【解答】（唐山中考数学）解：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN=×x×3x=x2，

点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN=×x×3=x，y随x的增大而增大，所以排除A、D；

当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN=×x×（9﹣3x）=﹣x2+x，开口方向向下．

故选：B

【点评】此题考查动点问题的函数图象问题，根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．

16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（　　）

A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．

【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），

∴0=a﹣b+c，﹣3=c，

∴b=a﹣3，

∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，

∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6，

∵顶点在第四象限，a＞0，

∴b=a﹣3＜0，

∴a＜3，

∴0＜a＜3，

∴﹣6＜2a﹣6＜0，

即﹣6＜P＜0．

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出a与b的关系，以及当x=1时a+b+c=P是解决问题的关键．

二、填空题（12分）

17．命题“相等的角是对顶角”是　假　命题（填“真”或“假”）．

【考点】命题与定理．

【分析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．

【解答】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，

从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．

故答案为：假．

【点评】此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．

18．（唐山中考数学）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有　2　种租车方案．

【考点】二元一次方程的应用．

【分析】设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，根据车座位数等于学生的人数列出二元一次方程，再根据x、y都是正整数求解即可．

【解答】解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，

根据题意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整数，

∴x=1时，y=3，

x=2时，y=1，

x=3时，y=﹣1（不符合题意，舍去），

所以，共有2种租车方案．

故答案为：2．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数．

19．如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（5，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为　　．

【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．

【分析】先过点B作BD⊥x轴于D，由A（0，2），B（5，3），即可得OA=2，BD=3，OD=5，由题意易证得△AOC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可得OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，又由勾股定理即可求得这束光从点A到点B所经过的路径的长．

【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，

∵A（0，2），B（5，3），

∴OA=2，BD=3，OD=5，

根据题意得：∠ACO=∠BCD，

∵∠AOC=∠BDC=90°，

∴△AOC∽△BDC，

∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，

∴OC=5×=2，

∴CD=OD﹣OC=3，

∴AC==2，BC==3，

∴AC+BC=5，

故答案为：5．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质．此题难度适中，解此题的关键是掌握辅助线的作法，掌握入射光线与反射光线的关系．

20（唐山中考数学）．若圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为　15π　cm2（结果保留π）

【考点】圆锥的计算．

【专题】计算题．

【分析】先计算出圆锥底面圆的周长2π×3，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．

【解答】解：圆锥的侧面展开图的面积=×2π×3×5=15π（cm2）．

故答案为15π．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．

三、解答题

21．如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．求证：AC是⊙O的切线．

【考点】切线的判定．

【专题】证明题．

【分析】（唐山中考数学）连接OE，由BE是∠CBA的角平分线得∠ABE=∠CBE，由OE=OB得∠ABE=∠OEB，则∠OEB=∠CBE，所以OE∥BC，则∠OEC=∠C=90°，即OE⊥AC，根据切线的判定得到AC是⊙O的切线．

【解答】证明：连接OE，如图，

∵BE是∠CBA的角平分线，

∴∠ABE=∠CBE．

∵OE=OB，

∴∠ABE=∠OEB，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC

∴∠OEC=∠C=90°，

∴OE⊥AC，

∴AC是⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．

求证：平行四边形ADBE是矩形．

【考点】矩形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．

【分析】利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，再根据矩形的定义即可证得．

【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵四边形ADBE是平行四边形，

∴平行四边形ADBE是矩形．

【点评】本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．

23．（唐山中考数学）一项工程，甲，乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．

（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．

【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙工程公司单独完成需1.5x天，根据合作12天完成列出方程求解即可．

（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．

【解答】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．

根据题意，得+=，

解得x=20，

经检验知x=20是方程的解且符合题意．

1.5x=30

故甲公司单独完成此项工程，需20天，乙公司单独完成此项工程，需30天；

（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，

根据题意得12（y+y﹣1500）=102000，解得y=5000，

甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；

乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）=105000（元）；

故甲公司的施工费较少．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等量关系求解．

24．自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分为四类：A．特别好；B．好；C．一般；D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？

（2）求出调查中C类女生及D类男生的人数，将条形统计图补充完整；

【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

【分析】（1）根据A类的人数是3，所占的百分比是15%，据此即可求得总人数；

（2）根据百分比的意义求得C、D两类的人数，进而求得C类女生及D类男生的人数；

（3）利用列举法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．

【解答】（唐山中考数学）解：（1）调查的总人数是：（1+2）÷15%=20（人）；

（2）C类学生的人数是：20×25%=5（人），则C类女生人数是：5﹣3=2（人）；

D类的人数是：20×（1﹣50%﹣25%﹣15%）=4（人），则D类男生的人数是：4﹣1=3（人）；

如图所示：

（3）如图所示：

则恰好是一位男同学和一位女同学的概率是：．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

25．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；

（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

【考点】四边形综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；

（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；

（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．

【解答】（唐山中考数学）解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，

∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即，

∴y=x2+x．

（2）∵y=x2+x=（x﹣）2+，

∴当x=时，y取得最大值，最大值为．

∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，

∴≤1，解得m≤．

∴m的取值范围为：0＜m≤．

（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，

又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，

∴∠APG=∠APB．

∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，

∴∠GAP=∠APB，

∴∠GAP=∠APG，

∴AG=PG=PC．

解法一：（唐山中考数学）如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H，

则易知ABCH为矩形，HE=CH﹣CE=2﹣y，GH=AH﹣AG=4﹣（4﹣x）=x，

在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GE2，

即：x2+（2﹣y）2=y2，化简得：x2﹣4y+4=0 ①

由（1）可知，y=x2+x，这里m=4，∴y=x2+2x，

代入①式整理得：3x2﹣8x+4=0，解得：x=或x=2，

∴BP的长为或2．

解法二：如解答图所示，连接GC．

∵AG∥PC，AG=PC，

∴四边形APCG为平行四边形，∴AP=CG．

易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．

过点G作GN⊥PC于点N，则GN=2，PN=PC﹣CN=4﹣2x．

在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2，

即：（4﹣2x）2+22=（4﹣x）2，

整理得：3x2﹣8x+4=0，解得：x=或x=2，

∴BP的长为或2．

解法三：过点A作AK⊥PG于点K，

∵∠APB=∠APG，

∴AK=AB．

易证△APB≌△APK，

∴PK=BP=x，

∴GK=PG﹣PK=4﹣2x．

在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2，

即：（4﹣2x）2+22=（4﹣x）2，

整理得：3x2﹣8x+4=0，

解得：x=或x=2，

∴BP的长为或2．

【点评】本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法．

26．（唐山中考数学）如图，已知一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于点B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．

（1）求二次函数的解析式；

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据一次函数的解析式可找出点B的坐标，再根据点A、D的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）假设存在，则点P的坐标为（t，0）．联立直线与抛物线解析式成方程组，解方程组求出点C的坐标，根据点B、P的坐标利用两点间的距离公式即可求出PB、PC、BC的长度，再利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论；

（3）假设存在，则AP=2t，AQ=at．由一次函数解析式即可找出点A的坐标，结合点B、D的坐标即可得出AB、AD的长度，分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB两种情况考虑，根据相似三角形的性质即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a值，此题得解．

【解答】解：（1）当x=0时，y=1，

∴B（0，1）．

将点B（0，1）、D（1，0）代入y=x2+bx+c中，

，解得：，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣x+1．

（2）假设存在，则点P的坐标为（t，0）．

联立直线AB与抛物线的解析式成方程组，

，解得：，，

∴点C的坐标为（4，3）．

∵B（0，1），P（t，0），

∴BC=2，CP==，BP==，

∵在Rt△PBC中，∠BPC=90°，

∴BC2=CP2+BP2，即20=t2﹣8t+25+t2+1，

解得：t1=1，t2=3．

故存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，此时点P运动的时间为1秒或3秒．

（3）（唐山中考数学）假设存在，则AP=2t，AQ=at．

当y=0时，x=﹣2，

∴A（﹣2，0）．

∵B（0，1）、D（1，0），

∴AB=，AD=3．

∵∠PAQ=∠BAD，

∴以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似有两种情况：

①当△PAQ∽BAD时，有，即，

解得：a=；

②当△PAQ∽△DAB时，有，即，

解得：a=．

综上可知：存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，a的值为或．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、勾股定理以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用勾股定理找出关于t的一元二次方程；（3）分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB两种情况考虑．本体属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．