2018年阳江中考数学模拟试题【解析版含答案】

2018年阳江中考数学模拟试题【解析版含答案】

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一、选择题

1．﹣的倒数是（）

A．﹣3              B．﹣              C．              D．3

2．中共中央总书记、中央军委主席习近平要求厉行节约反对浪费．据统计数据显示，我国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮．将230000000用科学记数法表示为（）

A．2.3×109              B．2.3×108              C．2.3×107              D．23×107

3．如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（）

A．              B．              C．              D．

4．下列运算中，正确的是（）

A．x2+x2=x4              B．x6÷x2=x3              C．x2•x4=x6              D．（3x2）2=6x4

5．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根              B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根              D．没有实数根

6．某中学初三（1）班的一次数学测试的平均成绩为80分，男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为（）

A．1：2              B．2：1              C．3：2              D．2：3

7．一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的中心角为（）

A．15°              B．30°              C．45°              D．60°

8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A．              B．              C．              D．

9．函数y=ax（a≠0）与y=在同一坐标系中的大致图象是（）

A．              B．              C．              D．

10．已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0 ⑤b2﹣4ac＞0．其中正确结论的序号是（）

A．③④              B．②③⑤              C．①④⑤              D．①②③

二、填空题

11．计算： =．

12．分解因式：ab2﹣2ab+a=．

13．如图，AC与BD相交于点O，且AB=CD，请添加一个条件，使得△ABO≌△CDO．

14．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为cm2．（结果保留π）

15．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值为．

16．如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A22的坐标是．

三、解答题

17．计算：﹣+2sin60°+（）﹣1．

18．先化简：，然后再取一个你喜爱的x的值代入求值．

19．如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：

（1）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A1B1C1（不写作法，但要标出字母）；

（2）求点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径长．

四、解答题

20．某公司现有甲、乙两种品牌的计算器，甲品牌计算器有A，B，C三种不同的型号，乙品牌计算器有D，E两种不同的型号，新华中学要从甲、乙两种品牌的计算器中各选购一种型号的计算器．

（1）如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么利用树状图或列表方法求出A型号计算器被选中的概率是多少？

（2）现知新华中学购买甲、乙两种品牌计算器共40个（价格如图所示），恰好用了1000元人民币，其中甲品牌计算器为A型号计算器，求购买的A型号计算器有多少个？

21．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．

22．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；

③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．

五、解答题

23．已知：正比例函数y=ax（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点（2，2+2）

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）第一象限内，当反比例函数y=的值大于正比例函数y=ax的值时，求x的取值范围？

（3）如图，M（m，n）、A（n，m）在第一象限且为反比例函数图象上的两动点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当∠MOA=45°时，求M点坐标．

24．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；

（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

25．如图，直线y=x+b经过点B（﹣，2），且与x轴交于点A，将抛物线y=x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．

（1）求∠BAO的度数；

（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；

（3）在抛物线y=x2平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

2018年阳江中考数学模拟试题参考答案与试题解析

一、选择题

1．﹣的倒数是（）

A．﹣3              B．﹣              C．              D．3

【考点】倒数．

【专题】计算题．

【分析】根据倒数的定义可得到﹣的倒数为﹣3．

【解答】解：﹣的倒数为﹣3．

故选A．

【点评】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为．

2．中共中央总书记、中央军委主席习近平要求厉行节约反对浪费．据统计数据显示，我国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮．将230000000用科学记数法表示为（）

A．2.3×109              B．2.3×108              C．2.3×107              D．23×107

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：230 000 000=2.3×108，

故选：B

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．从物体正面看，看到的是一个等腰梯形．

【解答】解：从物体正面看，看到的是一个等腰梯形．故选C．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．

4．下列运算中，正确的是（）

A．x2+x2=x4              B．x6÷x2=x3              C．x2•x4=x6              D．（3x2）2=6x4

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据同底数幂的乘法，可判断C，根据积的乘方，可判断D．

【解答】解：A、系数相加，字母部分不变，故A错误；

B、底数不变指数相减，故B错误；

C、底数不变指数相加，故C正确；

D、（3x2）2=32x2×2=9x4，故D错误；

故选：C．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，根据法则计算是解题关键．

5．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根              B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根              D．没有实数根

【考点】根的判别式．

【专题】计算题．

【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．

【解答】解：△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，

所以方程有两个不相等的两个实数根．

故选A．

【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

6．某中学初三（1）班的一次数学测试的平均成绩为80分，男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为（）

A．1：2              B．2：1              C．3：2              D．2：3

【考点】加权平均数．

【分析】设男、女生的人数分别为x、y，根据加权平均数的概念列式整理即可得解．

【解答】解：设男、女生的人数分别为x、y，

82x+77y=80（x+y），

整理得，2x=3y，

所以，x：y=3：2．

故选C．

【点评】本题考查了加权平均数的求法，熟记定义是解题的关键．

7．一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的中心角为（）

A．15°              B．30°              C．45°              D．60°

【考点】多边形内角与外角．

【分析】正多边形的一个外角的度数与正多边形的中心角的度数，据此即可求解．

【解答】解：正多边形的一个外角等于30°，则中心角的度数是30°．

故选B．

【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正多边形的外角的度数与中心角的度数相等是关键．

8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．

【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，

A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；

B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；

C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；

D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，

故选：B．

【点评】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法3．

9．函数y=ax（a≠0）与y=在同一坐标系中的大致图象是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】反比例函数的图象；正比例函数的图象．

【分析】根据正比例函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；

B、由反比例函数的图象可知a＜0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者相矛盾，故本选项错误；

C、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；

D、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者一致，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知一次函数与反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．

10．已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0 ⑤b2﹣4ac＞0．其中正确结论的序号是（）

A．③④              B．②③⑤              C．①④⑤              D．①②③

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】由x=1时，y=a+b+C＞0，即可判定①错误；

由x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即可判定②正确；

由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c＞0，又对称轴为x=＜1，得到2a+b＜0，由此可以判定③正确；

由对称轴为x=＞0即可判定④错误．

由y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，△＞0即可判断⑤正确．

【解答】解：①当x=1时，y=a+b+C＞0，∴①错误；

②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴②正确；

③由抛物线的开口向下知a＜0，

与y轴的交点为在y轴的正半轴上，

∴c＞0，

∵对称轴为x=＜1，

∴2a+b＜0，

∴③正确；

④对称轴为x=＞0，

∴a、b异号，即b＞0，

∴abc＜0，

∴④错误．

⑤由y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴△＞0，∴△=b2﹣4ac＞0，故⑤正确；

故正确结论的序号是②③⑤，

故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，难度不大，关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

二、填空题

11．计算： =　4　．

【考点】算术平方根．

【专题】计算题．

【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．

【解答】解：∵42=16，

∴=4，

故答案为4．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．

12．分解因式：ab2﹣2ab+a=　a（b﹣1）2　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解：ab2﹣2ab+a，

=a（b2﹣2b+1），

=a（b﹣1）2．

【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．

13．如图，AC与BD相交于点O，且AB=CD，请添加一个条件　∠A=∠C　，使得△ABO≌△CDO．

【考点】全等三角形的判定．

【专题】开放型．

【分析】首先根据对顶角相等，可得∠AOB=∠COD；然后根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，要使得△ABO≌△CDO，则只需∠A=∠C即可．

【解答】解：∵∠AOB、∠COD是对顶角，

∴∠AOB=∠COD，

又∵AB=CD，

∴要使得△ABO≌△CDO，

则只需添加条件：∠A=∠C．（答案不唯一）

故答案为：∠A=∠C．（答案不唯一）

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

14．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为　24π　cm2．（结果保留π）

【考点】圆锥的计算．

【专题】计算题．

【分析】表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．

【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长=6π，

侧面面积=×6π×5=15π；

底面积为=9π，

全面积为：15π+9π=24π．

故答案为24π．

【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．

15．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值为　3　．

【考点】轴对称-最短路线问题．

【分析】在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，求出E和B关于AD对称，求出BM+MN′=EN′，求出EN′，即可求出答案．

【解答】解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），

∵AD平分∠CAB，AE=AB，

∴EO=OB，AD⊥BE，

∴AD是BE的垂直平分线（三线合一），

∴E和B关于直线AD对称，

∴EM=BM，

即BM+MN′=EM+MN′=EN′，

∵EN′⊥AB，

∴∠ENA=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠AEN′=30°，

∵AE=AB=6，

∴AN=AE=3，

在△AEN中，由勾股定理得：EN===3，即BM+MN的最小值是3．

故答案为：3．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到垂线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．

16．如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A22的坐标是　（﹣8，﹣8）　．

【考点】规律型：点的坐标．

【分析】先根据每一个三角形有三个顶点确定出A22所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及A22的纵坐标的长度，即可得解．

【解答】解：∵△A1A2A3的边长为2，

∴△A1A2A3的高线为2×=，

∵A1A2与x轴相距1个单位，

∴A3O=﹣1，

∴A3的坐标是（0，﹣1）；

∵22÷3=7…1，

∴A22是第8个等边三角形的第1个顶点，

第8个等边三角形边长为2×8=16，

∴点A22的横坐标为﹣×16=﹣8，

∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，

∴点A22的纵坐标为﹣8，

∴点A22的坐标为（﹣8，﹣8）．

故答案为（﹣8，﹣8）．

【点评】本题是点的变化规律的考查，主要利用了等边三角形的性质，难度不大，第二问确定出点A92所在三角形是解题的关键．

三、解答题

17．计算：﹣+2sin60°+（）﹣1．

【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题．

【分析】分别根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值及负整数指数幂计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=﹣2+2×+3

=3．

【点评】本题考查的是实数的混合运算，熟知绝对值的性质、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．

18．先化简：，然后再取一个你喜爱的x的值代入求值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】首先把每个分式的分子，分母分解因式，然后计算分式的乘法，最后进行减法运算即可化简，最后代入适当的x的值计算即可求解．

【解答】解：原式=•﹣

=﹣

=﹣，

当x=1时，原式=﹣=2．

【点评】注意：取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．如果取x=0，则原式没有意义，因此，尽管0是大家的所喜爱的数，但在本题中却是不允许的．

19．如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：

（1）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A1B1C1（不写作法，但要标出字母）；

（2）求点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径长．

【考点】作图-旋转变换．

【专题】作图题．

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；

（2）点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径为以点A为圆心，4为半径，圆心角为180度的弧，然后根据弧长公式计算即可．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径长=π．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

四、解答题

20．某公司现有甲、乙两种品牌的计算器，甲品牌计算器有A，B，C三种不同的型号，乙品牌计算器有D，E两种不同的型号，新华中学要从甲、乙两种品牌的计算器中各选购一种型号的计算器．

（1）如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么利用树状图或列表方法求出A型号计算器被选中的概率是多少？

（2）现知新华中学购买甲、乙两种品牌计算器共40个（价格如图所示），恰好用了1000元人民币，其中甲品牌计算器为A型号计算器，求购买的A型号计算器有多少个？

【考点】列表法与树状图法；二元一次方程组的应用．

【专题】应用题．

【分析】（1）利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选中A型号计算器的结果数，然后根据概率公式求解；

（2）讨论：当选用方案（A，D）时，设购买A型号，D型号计算器分别为x，y个，根据题意得，；当选用方案（A，E）时，设购买A型号、E型号计算器分别为m，n个，根据题意得，然后分别解方程组即可得到答案．

【解答】解：（1）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中选中A型号计算器的结果数为2，

所以A型号计算器被选中的概率==；

（2）由（2）可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号，D型号计算器分别为x，y个，根据题意得，解得，经检验不符合题意，舍去；

当选用方案（A，E）时，设购买A型号、E型号计算器分别为m，n个，根据题意得，解得，

所以新华中学购买了5个A型号计算器．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了二元一次方程组的应用．

21．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【专题】应用题．

【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而可求出答案．

【解答】解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB=∠CAE=30°，∠ADB=∠EAD=45°，

∴AC=2AB，DB=AB．

设AB=x，则BD=x，AC=2x，CB=50+x，

∵tan∠ACB=tan30°，

∴AB=CB•tan∠ACB=CB•tan30°．

∴x=（50+x）•．

解得：x=25（1+），

∴AC=50（1+）（米）．

答：缆绳AC的长为50（1+）米．

【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

22．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；

③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．

【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定与性质．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，进而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形；

（2）利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积．

【解答】（1）证明：由题意可知：

∵分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

∴直线DE是线段AC的垂直平分线，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；

且AD=CD、AO=CO，

又∵CE∥AB，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△COE中

，

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴OD=OE，

∵A0=CO，DO=EO，

∴四边形ADCE是平行四边形，

又∵AC⊥DE，

∴四边形ADCE是菱形；

（2）解：当∠ACB=90°时，

OD∥BC，

即有△ADO∽△ABC，

∴，

又∵BC=6，

∴OD=3，

又∵△ADC的周长为18，

∴AD+AO=9，

即AD=9﹣AO，

∴OD==3，

可得AO=4，

∴DE=6，AC=8，

∴S=AC•DE=×8×6=24．

【点评】此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法，根据已知得出△ADO∽△ABC进而求出AO的长是解题关键．

五、解答题

23．已知：正比例函数y=ax（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点（2，2+2）

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）第一象限内，当反比例函数y=的值大于正比例函数y=ax的值时，求x的取值范围？

（3）如图，M（m，n）、A（n，m）在第一象限且为反比例函数图象上的两动点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当∠MOA=45°时，求M点坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将点（2，2+2）代入两个函数解析式即可．

（2）观察两个函数图象的位置，反比例函数图象在上面，即可写出答案．

（3）将△OMB绕点O顺时针旋转90°得到△OCE，连接AM，只要证明AM=BM+AC，列出关于m、n的方程即可解决．

【解答】解：（1）把点（2，2+2）分别代入正比例函数和反比例函数解析式得：

2+2=2a，解得a=+1，2+2=，解得k=4+4，

所以正比例函数解析式为：y=（+1）x，

反比例函数解析式：y=．

（2）当0＜x＜2时，反比例函数y=的值大于正比例函数y=ax的值．

（3）因为M（n，m），A（m，n），可知：四边形BOCD为正方形，又∠MOA=45°，

将△OMB绕点O顺时针旋转90°得到△OCE，连接AM．

∵∠BOM+∠AOC=45°，∠BOM=∠EOC，OE=OM．BM=CE，

∴∠AOC+∠EOC=45°=∠MOA，

在△OAM和△OAE中，

，

∴△OAM≌△OAE，

∴AM=AE=AC+CE=AC+BM

又∵BM=m，AC=m，

∴AM=2m，MD=n﹣m=DA，

∴三角形MDA是等腰三角形，MA=MD即2m=（n﹣m）    ①，

又∵M点在反比例函数图象上，

∴mn=4+4      ②，

由①②解得，

∴M（2，2+2）．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点，学会待定系数法求函数解析式，能根据图象由函数值的大小确定自变量的取值范围，第三个问题添加辅助线是解决问题的关键，属于中考常考题型．

24．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；

（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；

（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG•AB，求出AC即可；

（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG=，即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．

【解答】（1）证明：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠ADC=90°，

又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，

∴∠PAC=∠ADC，

∴∠CAD+∠PAC=90°，

∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径，

∴PA是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，

∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，

∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，

∴△CAG∽△BAC，

∴=，

即AC2=AG•AB，

∵AG•AB=12，

∴AC2=12，

∴AC=2；

（3）解：设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，

∴AD=AF+FD=3x，

在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，

即3x2=12，

解得；x=2，

∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3，

在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，

根据勾股定理得：AG===，

由（2）知，AG•AB=12，

∴AB==，

连接BD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，

∴sin∠ADB=，

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，

∴sin∠ACE=．

【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出AG的长以及AB的长是解题关键．

25．如图，直线y=x+b经过点B（﹣，2），且与x轴交于点A，将抛物线y=x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．

（1）求∠BAO的度数；

（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；

（3）在抛物线y=x2平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）因为点B（﹣，2）在直线y=x+b上，所以把B点坐标代入解析式即可求出未知数的值，进而求出其解析式．根据直线解析式可求出A点的坐标及直线与y轴交点的坐标，根据锐角三角函数的定义即可求出∠BAO的度数．

（2）根据抛物线平移的性质可设出抛物线平移后的解析式，由抛物线上点的坐标特点求出E点坐标及对称轴直线，根据EF∥x轴可知E，F，两点关于对称轴直线对称，可求出F点的坐标，把此坐标代入（1）所求的直线解析式就可求出未知数的值，进而求出抛物线C的解析式．

（3）根据特殊角求出D点的坐标表达式，将表达式代入解析式，看能否计算出P点坐标，若能，则D点在抛物线C上．反之，不在抛物线上．

【解答】解：（1）设直线与y轴交于点N，

将x=﹣，y=2代入y=x+b得b=3，

∴y=x+3，

当x=0时，y=3，当y=0时x=﹣3

∴A（﹣3，0），N（0，3）；

∴OA=3，ON=3，

∴tan∠BAO==

∴∠BAO=30°，

（2）设抛物线C的解析式为y=（x﹣t）2，则P（t，0），E（0， t2），

∵EF∥x轴且F在抛物线C上，根据抛物线的对称性可知F（2t， t2），

把x=2t，y=t2代入y=x+3

得t+3=t2

解得t1=﹣，t2=3

∴抛物线C的解析式为y=（x﹣3）2或y=（x+）2．

（3）假设点D落在抛物线C上，

不妨设此时抛物线顶点P（m，0），则抛物线C：y=（x﹣m）2，AP=3+m，

连接DP，作DM⊥x轴，垂足为M．由已知，得△PAB≌△DAB，

又∵∠BAO=30°，

∴△PAD为等边三角形，

PM=AM=（3+m），

∴tan∠DAM==，

∴DM=（9+m），

OM=PM﹣OP=（3+m）﹣m=（3﹣m），

∴M=[﹣（3﹣m），0]，

∴D[﹣（3﹣m），（9+m）]，

∵点D落在抛物线C上，

∴（9+m）= [﹣（3﹣m）﹣m]2，即m2=27，m=±3；

当m=﹣3时，此时点P（﹣3，0），点P与点A重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．

当m=3时P为（3，0）此时可以构成△DAB，

所以点P为（3，0），

∴当点D落在抛物线C上，顶点P为（3，0）．

【点评】此题将抛物线与直线相结合，涉及到动点问题，翻折变换问题，有一定的难度．尤其（3）题是一道开放性问题，需要进行探索．要求同学们有一定的创新能力．