2017年广东省汕尾市城区中考数学一模试卷（解析版含答案）

2017年广东省汕尾市城区中考数学一模试卷（解析版含答案）

由于版式的问题，试题可能会出现乱码的现象，为了方便您的阅读请点击全屏查看一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．﹣5的绝对值是（）

A．              B．﹣5              C．5              D．﹣

2．下列图形不是轴对称图形的是（）

A．              B．              C．              D．

3．据报道，2016年10月17日7时30分28秒，神舟十一号载人飞船在酒泉发射升空，与天宫二号在距离地面393000米的太空轨道进行交会对接，而这也是未来我国空间站运行的轨道高度393000用科学记数法表示为（）

A．0.393×106              B．3.93×105              C．0.393×105              D．39.3×104

4．下列计算正确的是（）

A．x2•x3=x6              B．（x2）3=x5              C．x2+x3=x5              D．x6÷x3=x3

5．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形（）

A．三个内角平分线的交点              B．三边垂直平分线的交点

C．三条高线的交点              D．三条中线的交点

6．小华班上比赛投篮，每人投6球，如图是班上所有学生投进球数的饼图．根据图，下列关于班上所有学生投进球数的统计量，何者正确？（）

A．中位数为3              B．中位数为2.5              C．众数为5              D．众数为2

7．如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，则∠2的度数为（）

A．115°              B．125°              C．155°              D．165°

8．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）

A．5m              B．15m              C．20m              D．28m

9．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（）

A．6              B．7              C．8              D．9

10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，AB=4，D为AB上的动点，DP⊥AB交折线A﹣C﹣B于点P，设AD=x，△ADP的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（）

A．              B．             

C．              D．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

11．在﹣3，2，这三个实数中，绝对值最大的是：．

12．分解因式：2b2﹣8b+8=．

13．函数y=中，自变量x的取值范围是．

14．计算： =．

15．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第239个图共有枚棋子．

16．如图，在△ABC中，AB=6cm，∠CAB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

18．（6分）先化简，再求值：（ +1）÷，其中a=﹣1．

19．（6分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：

请结合图表完成下列各题：

（1）表中a的值为；

（2）频数分布直方图补充完整；

（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．（7分）如图，已知△ABC．

（1）请用尺规作△ABC的中位线DE，其中点D、E分别在AB、AC上．

（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）延长DE至点F，使得EF=DE，求证：四边形DBCF是平行四边形．

21．（7分）目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．

（参考数据：，）

22．（7分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）=|a|．

（1）求证：对于任意实数a，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．（9分）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．

（1）求双曲线解析式；

（2）根据图象直接写出，在什么范围时，一次函数的值小于反比例函数的值；

（3）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，OC=2，以点O为圆心OC为半径作圆．

（1）求证：AB为⊙O的切线；             

（2）如果tan∠BAO=，求cosB的值．

25．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx与x轴相交于点A（8，0），且经过原点．顶点M在第四象限，过点M作MB⊥x轴，且BM=4，点P（a，0）是线段OA上一动点，连结PM，将线段PM绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点N，交抛物线于点D，连结BC和MD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（3）当以点M、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

2017年广东省汕尾市城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．﹣5的绝对值是（）

A．              B．﹣5              C．5              D．﹣

【考点】15：绝对值．

【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数求解即可．

【解答】解：﹣5的绝对值是5．

故选C．

【点评】本题考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．下列图形不是轴对称图形的是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】P3：轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

【解答】解：A、是轴对称图形，故选项错误；

B、不是轴对称图形，故选项正确；

C、是轴对称图形，故选项错误；

D、是轴对称图形，故选项错误．

故选：B．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．据报道，2016年10月17日7时30分28秒，神舟十一号载人飞船在酒泉发射升空，与天宫二号在距离地面393000米的太空轨道进行交会对接，而这也是未来我国空间站运行的轨道高度393000用科学记数法表示为（）

A．0.393×106              B．3.93×105              C．0.393×105              D．39.3×104

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

【解答】解：393000=3.93×105．

故选：B．

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

4．下列计算正确的是（）

A．x2•x3=x6              B．（x2）3=x5              C．x2+x3=x5              D．x6÷x3=x3

【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法求出每个式子的值，再进行判断即可．

【解答】解：A、x2•x3=x5，故本选项错误；

B、（x2）3=x6，故本选项错误；

C、x2和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；

D、x6÷x3=x3，故本选项正确；

故选D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．

5．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形（）

A．三个内角平分线的交点              B．三边垂直平分线的交点

C．三条高线的交点              D．三条中线的交点

【考点】MA：三角形的外接圆与外心．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等解答即可．

【解答】解：由线段垂直平分线的性质可知，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，

则三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三边垂直平分线的交点，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

6．小华班上比赛投篮，每人投6球，如图是班上所有学生投进球数的饼图．根据图，下列关于班上所有学生投进球数的统计量，何者正确？（）

A．中位数为3              B．中位数为2.5              C．众数为5              D．众数为2

【考点】VB：扇形统计图；W4：中位数；W5：众数．

【分析】根据中位数和众数的定义，结合扇形统计图，选出正确选项即可．

【解答】解：由图可知：班内同学投进2球的人数最多，故众数为2；

因为不知道每部分的具体人数，所以无法判断中位数．

故选D．

【点评】本题考查了扇形统计图的知识，通过图形观察出投进2球的人数最多是解题的关键．

7．如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，则∠2的度数为（）

A．115°              B．125°              C．155°              D．165°

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】如图，过点D作c∥a．由平行线的性质进行解题．

【解答】解：如图，过点D作c∥a．

则∠1=∠CDB=25°．

又a∥b，DE⊥b，

∴b∥c，DE⊥c，

∴∠2=∠CDB+90°=115°．

故选：A．

【点评】本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，同位角相等”来解题的．

8．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）

A．5m              B．15m              C．20m              D．28m

【考点】K6：三角形三边关系．

【分析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．

【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，

∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m．

故选D．

【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

9．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（）

A．6              B．7              C．8              D．9

【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】设边数为n，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数．

【解答】解：

设这个多边形的边数为n，

由题意可得：（n﹣2）×180°=1260°，

解得n=9，

∴这个多边形的边数为9，

故选D．

【点评】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键，即多边形的内角和=（n﹣2）180°．

10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，AB=4，D为AB上的动点，DP⊥AB交折线A﹣C﹣B于点P，设AD=x，△ADP的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】E7：动点问题的函数图象．

【分析】根据题意可以列出y与x的函数解析式，从而可以确定y与x的函数图象，从而可以得到正确的选项，本题得以解决．

【解答】解：由题意可得，

当0≤x≤2时，y=，

当2≤x≤4时，y==，

∴当0≤x≤2时，函数图象为y=的右半部分，当2≤x≤4时，函数图象为y=的右半部分，

故选B．

【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，可以列出相应的函数解析式、确定函数的图象．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

11．在﹣3，2，这三个实数中，绝对值最大的是：　﹣3　．

【考点】2A：实数大小比较．

【分析】首先求出每个数的绝对值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出在﹣3，2，这三个实数中，绝对值最大的是哪个即可．

【解答】解：|﹣3|=3，|2|=2，||=，

∵3＞2＞，

∴在﹣3，2，这三个实数中，绝对值最大的是﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

12．分解因式：2b2﹣8b+8=　2（b﹣2）2　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．

【解答】解：原式=2（b2﹣4b+4）

=2（b﹣2）2．

故答案为：2（b﹣2）2．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

13．函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥﹣2且x≠0　．

【考点】E4：函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x+2≥0且x≠0，

解得x≥﹣2且x≠0．

故答案为：x≥﹣2且x≠0．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

14．计算： =　1　．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=1+﹣2×﹣（2﹣）

=1+2﹣﹣2+

=1，

故答案为：1．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．

15．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第239个图共有　718　枚棋子．

【考点】38：规律型：图形的变化类．

【分析】根据图形中点的个数得到有关棋子个数的通项公式，然后代入数值计算即可．

【解答】解：观察图形知：

第1个图形有3+1=4个棋子，

第2个图形有3×2+1=7个棋子，

第3个图形有3×3+1=10个棋子，

第4个图形有3×4+1=13个棋子，

…

第n个图形有3n+1个棋子，

当n=239时，3×239+1=718个，

故答案为：718．

【点评】本题考查了图形的变化类问题，能够根据图形得到通项公式是解决本题的关键．

16．如图，在△ABC中，AB=6cm，∠CAB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为　9cm2　．

【考点】R2：旋转的性质；KW：等腰直角三角形．

【分析】根据旋转的性质得∠ABA′=45°，BA′=BA，△ABC≌△A′BC′，则S△ABC=S△A′BC′，再利用面积的和差可得S阴影部分=S△ABA′，接着证明△ADB为等腰直角三角形，得到∠ADB=90°，进而得到AD的长，然后利用三角形面积公式计算S△ABA，从而得到S阴影部分．

【解答】解：如图所示，设AC与BA′相交于D，

∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，

∴∠ABA′=45°，BA′=BA=6，△ABC≌△A′BC′，

∴S△ABC=S△A′BC′

∵S四边形AA′C′B=S△ABC+S阴影部分=S△A′BC′+S△ABA′

∴S阴影部分=S△ABA′

∵∠BAC=45°，

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴∠ADB=90°，AD=AB=3，

∴S△ABA′=AD•BA′=×3×6=9，

∴阴影部分的面积=9cm2．

故答案为：9cm2．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．

【分析】首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一个式子表示出来．

【解答】解：由（1）得4x＞4，

∴x＞1；

由（2）得2x+2﹣6＜x，

∴x＜4

∴原不等式组的解集为1＜x＜4．

【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．

18．先化简，再求值：（ +1）÷，其中a=﹣1．

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】先将原分式化简，然后将a的值代入即可求出答案．

【解答】解：当a=﹣1时，

∴原式=[+1]•

=+

=

=

=

=

=

【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型

19．“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：

请结合图表完成下列各题：

（1）表中a的值为　12　；

（2）频数分布直方图补充完整；

（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

【考点】V8：频数（率）分布直方图；V7：频数（率）分布表．

【分析】（1）根据题意和表中的数据可以求得a的值；

（2）由表格中的数据可以将频数分布表补充完整；

（3）根据表格中的数据和测试成绩不低于80分为优秀，可以求得优秀率；

【解答】解：（1）由题意和表格，可得

a=50﹣6﹣8﹣14﹣10=12，

故答案为：12；

（2）补充完整的频数分布直方图如下图所示：

（2）∵测试成绩不低于80分为优秀，

∴本次测试的优秀率是：×100%=44%．

【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．如图，已知△ABC．

（1）请用尺规作△ABC的中位线DE，其中点D、E分别在AB、AC上．

（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）延长DE至点F，使得EF=DE，求证：四边形DBCF是平行四边形．

【考点】N3：作图—复杂作图；KX：三角形中位线定理；L6：平行四边形的判定．

【分析】（1）分别作AB、AC的中垂线找到AB、AC的中点，连接中点即可得；

（2）证明BC∥DF且BC=DF即可．

【解答】解：（1）如图，线段DE即为所求；

（2）∵DE是△ABC的中位线，

∴BC=2DE，且BC∥DE，

∵EF=DE，

∴DF=2DE，

∴BC=DF，

∴四边形DBCF是平行四边形．

【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图及三角形的中位线定理、平行四边形的判定，熟练掌握中垂线的作图和中位线定理是解题的关键．

21．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．

（参考数据：，）

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．

【解答】解：此车没有超速．理由如下：

过C作CH⊥MN，垂足为H，

∵∠CBN=60°，BC=200米，

∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），

BH=BC•cos60°=100（米），

∵∠CAN=45°，

∴AH=CH=100米，

∴AB=100﹣100≈73（m），

∴车速为m/s．

∵60千米/小时=m/s，

又∵14.6＜，

∴此车没有超速．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．

22．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）=|a|．

（1）求证：对于任意实数a，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根．

【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．

【分析】（1）将原方程整理成一般式，再结合根的判别式即可得出△=4|a|+1＞0，由此即可证出结论；

（2）将x=1代入一元二次方程中即可求出a值，设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系即可得出1+m=7，解之即可得出方程的另一个根．

【解答】（1）证明：原方程整理后可得：x2﹣7x+12﹣|a|=0，

∴△=（﹣7）2﹣4×（12﹣|a|）=4|a|+1＞0，

∴对于任意实数a，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：将x=1代入x2﹣7x+12﹣|a|=0中，

1﹣7+12﹣|a|=0，解得：a=±6．

设方程的另一个根为m，

则有1+m=7，

解得：m=6．

∴a的值为±6，方程的另一个根为6．

【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x=1代入原方程求出a值．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．

（1）求双曲线解析式；

（2）根据图象直接写出，在什么范围时，一次函数的值小于反比例函数的值；

（3）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；

（2）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，利用图象确定出一次函数值小于反比例函数值时x的范围即可．

（3）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．

【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，

∴A（2，3），

把A坐标代入y=，得k=6，

则双曲线解析式为y=；

（2）联立一次函数与反比例函数解析式得，

，

解得：或，

∴一次函数的值小于反比例函数的值时x的范围是：x＜﹣6或x＞2；

（3）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），

设P（x，0），可得PC=|x+4|，

∵△ACP面积为3，

∴|x+4|•3=3，即|x+4|=2，

解得：x=﹣2或x=﹣6，

则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，OC=2，以点O为圆心OC为半径作圆．

（1）求证：AB为⊙O的切线；             

（2）如果tan∠BAO=，求cosB的值．

【考点】MD：切线的判定；T7：解直角三角形．

【分析】（1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．

（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题．

【解答】解：（1）如图，作OM⊥AB于M，

∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，

∴OC=OM，

∴AB是⊙O的切线，

（2）设BM=x，OB=y，则y2﹣x2=22①，

∵cosB==，

∴=，

∴x2+6x=y2+2y    ②，

由①②可以得到：y=3x﹣2，

∴（3x﹣2）2﹣x2=4，

∴x=，y=，

∴cosB==．

【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题．

25．如图，抛物线y=ax2+bx与x轴相交于点A（8，0），且经过原点．顶点M在第四象限，过点M作MB⊥x轴，且BM=4，点P（a，0）是线段OA上一动点，连结PM，将线段PM绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点N，交抛物线于点D，连结BC和MD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（3）当以点M、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据题意先求得M的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）通过三角形全等求得PB=CN，BM=PN，分类讨论P在B点的左边与右边，从而求得C的坐标；

（3）分类讨论点P在OB上时、OE上时，把C的横坐标代入抛物线的解析式求得D的坐标，然后根据平行四边形的对边相等列出等式，解这个方程即可求得a的值，进而求得P的坐标．

【解答】解：（1）∵点A与点O关于MB对称，

∴抛物线的对称轴为x=4．

又∵MB=4，

∴M（4，﹣4）．

将点A和点M的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：a=，b=﹣2．

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x．

（2）∵∠MPB+∠BPC=90°，∠MPB+∠PMB=90°，

∴∠CPB=∠PMB．

在△MPB和△PCN中

∴△MPB≌△PCN．

∴PB=CN，PN=BM=4                                         

∵P（a，0），OP=a，且点P是线段OE上的动点

∴PB=CN=|4﹣a|，ON=|a+4|

①如图1，当点P在点B左边时，点C在x轴上方，

a＜4，4﹣a＞0，PB=CN=4﹣a，

∴C（a+4，4﹣a）  

②如图2，当点P在点B右边时，点C在x轴下方，

a＞4，4﹣a＜0，

∴PB=|4﹣a|=﹣（4﹣a）=a﹣4

∴CN=a﹣4                                                 

∴C（a+4，4﹣a） 

综上所述，点C坐标是C（a+4，4﹣a）

（3）如图1所示，当点P在OB上时，

由（2）可知点C的坐标为（a+4，4﹣a）．

∵四边形BMDC为平行四边形，

∴CD=BM=4．

将x=a+4代入抛物线的解析式得：y=（a+4）2﹣2（a+4）=a2﹣4．

∴CD=4﹣a﹣（a2﹣4）=4，解得：a=﹣2+2或a=﹣2﹣2（舍去）．

∴点P的坐标为（﹣2+2，0）．

如图2所示：当点P在线段BA上时．点C的坐标为（a+4，4﹣a），则点D的坐标为（a+4， a2﹣4）

∴CD=a2﹣4﹣（4﹣a）=4．

解得：a=﹣2+2或a=﹣2﹣2（舍去）．

∴点P的坐标为（﹣2+2，0）．

综上所述，点P的坐标为（﹣2+2，0）或（﹣2+2，0）．

【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等的判定和性质、平行四边形的性质、函数图象的交点的求法，找出图形中的全等三角形，利用全等三角形的性质得到相关线段的长度是解答问题（2）的关键，依据平行四边形的对边相等列出关于a的方程是解题的关键．