B.1 C.2 D.4
3.(东营中考数学)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
4.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为4
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
5.(东营中考数学)有20张背面完全一样的卡片,其中8张正面印有天鹅湖风光,7张正面印有黄河入海口自然风景,5张正面印有孙武湖景色.把这些卡片的背面朝上,搅匀后从中随机抽出一张卡片,抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BE=CF,连接CE、DF,将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,则旋转角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.(东营中考数学)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为( )
A.﹣20m B.10m C.20m D.﹣10m
8.(东营中考数学)将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置,点B的横坐标为2,则点A′的坐标为( )
A.(1,1) B.() C.(﹣1,1) D.()
9(东营中考数学).2013年“五•一”期间,小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是( )
A. B. C. D.
10.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是( )
A.10 B.8 C.4 D.2
二、(东营中考数学)填空题:(本大题共8个小题,11-14每小题3分,15-18每小题3分,共28分.)
11.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率是 .
12.已知一个扇形的半径为60cm,圆心角为150°,用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为 cm.
13.如图,△ABC内接于⊙O,∠OAB=20°,则∠C的度数为 .
14.对于函数y=x2+2x+1,当1<x<2时,y随x的增大而 (填写“增大”或“减小”).
15.半径为1的圆的内接正三角形的边长为 .
16.如图,是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”,已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点,AB是半圆的直径,抛物线的解析式为y=x2﹣,则图中CD的长为 .
17.(东营中考数学)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是 .
18.如图,在△ABC中,AB=4cm,BC=2cm,∠ABC=30°,把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是 cm2.
三、解答题:(本大题共5个小题,共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).
19.(东营中考数学)某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球 B.乒乓球C.羽毛球 D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 人;
(2)请你将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
20.(东营中考数学)如图,在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC,顶点A、B、C及点O均在格点上,请按要求完成以下操作或运算:
(1)将△ABC向上平移4个单位,得到△A1B1C1(不写作法,但要标出字母);
(2)将△ABC绕点O旋转180°,得到△A2B2C2(不写作法,但要标出字母);
(3)求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长.
21(东营中考数学).如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,若∠BAC=∠CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且∠CAB=30°,求CE的长.
22.(东营中考数学)某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树.
(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系;
(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?
23.如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,
(1)求证:OD∥BE;
(2)如果OD=6cm,OC=8cm,求CD的长.
24.(东营中考数学)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.
(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
东营中考数学参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项涂在答题卡上.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.)
1.点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为( )
A.(2,1) B.(﹣1,﹣2) C.(1,﹣2) D.(﹣2,﹣1)
【考点】R6:关于原点对称的点的坐标.
【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案.
【解答】解:点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为(﹣1,﹣2),
故选:B.
2.(东营中考数学)若二次函数y=2x2的图象经过点P(1,a),则a的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
【考点】H5:二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】直接把P(1,a)代入y=2x2中可计算出a的值.
【解答】解:把P(1,a)代入y=2x2得a=2×1=2.
故选C.
3.(东营中考数学)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】M2:垂径定理;KQ:勾股定理.
【分析】根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中,由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长.
【解答】解:∵CE=2,DE=8,
∴OB=5,
∴OE=3,
∵AB⊥CD,
∴在△OBE中,得BE=4,
∴AB=2BE=8.
故选:D.
4.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为4
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
【考点】(东营中考数学)H3:二次函数的性质.
【分析】把(0,﹣3)代入抛物线解析式求c的值,然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标.
【解答】解:把(0,﹣3)代入y=x2﹣2x+c中得c=﹣3,
抛物线为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4=(x+1)(x﹣3),
所以:抛物线开口向上,对称轴是x=1,
当x=1时,y的最小值为﹣4,
与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0);C错误.
故选C.
5.(东营中考数学)有20张背面完全一样的卡片,其中8张正面印有天鹅湖风光,7张正面印有黄河入海口自然风景,5张正面印有孙武湖景色.把这些卡片的背面朝上,搅匀后从中随机抽出一张卡片,抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】X4:概率公式.
【分析】根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数;二者的比值就是其发生的概率的大小.
【解答】解:共有图片20张,天鹅湖风光卡片8张,抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是: =.
故选C.
6.(东营中考数学)如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BE=CF,连接CE、DF,将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,则旋转角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【考点】R2:旋转的性质.
【分析】由题意得到D对应点为C,连接OC,OD,∠DOC即为旋转角,利用正方形性质求出即可.
【解答】(东营中考数学)解:∵正方形ABCD,O为正方形的中心,
∴OD=OC,OD⊥OC,
∴∠DOC=90°,
由题意得到D对应点为C,连接OC,OD,∠DOC即为旋转角,
则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,旋转角为90°,
故选D.
7.(东营中考数学)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为( )
A.﹣20m B.10m C.20m D.﹣10m
【考点】HE:二次函数的应用.
【分析】根据题意,把y=﹣4直接代入解析式即可解答.
【解答】解:根据题意B的纵坐标为﹣4,
把y=﹣4代入y=﹣x2,
得x=±10,
∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),
∴AB=20m.
即水面宽度AB为20m.
故选C.
8.(东营中考数学)将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置,点B的横坐标为2,则点A′的坐标为( )
A.(1,1) B.() C.(﹣1,1) D.()
【考点】(东营中考数学)R7:坐标与图形变化﹣旋转.
【分析】过点A作AC⊥OB于C,过点A′作A′C′⊥OB′于C′,根据等腰直角三角形的性质求出OC=AC,再根据旋转的性质可得OC′=OC,A′C′=AC,然后写出点A′的坐标即可.
【解答】解:如图,过点A作AC⊥OB于C,过点A′作A′C′⊥OB′于C′,
∵△AOB是等腰直角三角形,点B的横坐标为2,
∴OC=AC=×2=1,
∵△A′OB′是△AOB绕点O逆时针旋转90°得到,
∴OC′=OC=1,A′C′=AC=1,
∴点A′的坐标为(﹣1,1).
故选C.
9.(东营中考数学)2013年“五•一”期间,小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】X6:列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一景点的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:用A、B、C表示:东营港、黄河入海口、龙悦湖;
画树状图得:
∵共有9种等可能的结果,则两家抽到同一景点的有3种情况,
∴则两家抽到同一景点的概率是: =.
故选A.
10.(东营中考数学)如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是( )
A.10 B.8 C.4 D.2
【考点】MC:切线的性质;D5:坐标与图形性质.
【分析】如图连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H,先证明四边形OAMH是矩形,根据垂径定理求出HB,在RT△AOM中求出OM即可.
【解答】解:如图连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H.
∵⊙M与x轴相切于点A(8,0),
∴AM⊥OA,OA=8,
∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°,
∴四边形OAMH是矩形,
∴AM=OH,
∵MH⊥BC,
∴HC=HB=6,
∴OH=AM=10,
在RT△AOM中,OM===2.
故选D.
二、(东营中考数学)填空题:(本大题共8个小题,11-14每小题3分,15-18每小题3分,共28分.)
11.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率是 .
【考点】X4:概率公式;R5:中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形,于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率.
【解答】解:在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中,平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形,
所以这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率=.
故答案为:.
12.(东营中考数学)已知一个扇形的半径为60cm,圆心角为150°,用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为 25 cm.
【考点】MP:圆锥的计算.
【分析】首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长,然后利用圆的周长公式即可求解.
【解答】解:扇形的弧长是: =50πcm,
设底面半径是rcm,则2πr=50π,
解得:r=25.
故答案是:25.
13.如图,△ABC内接于⊙O,∠OAB=20°,则∠C的度数为 70° .
【考点】M5:圆周角定理.
【分析】(东营中考数学)由△ABC内接于⊙O,∠OAB=20°,根据等腰三角形的性质,即可求得∠OBA的度数,∠AOB的度数,又由圆周角定理,求得∠ACB的度数.
【解答】解:∵∠OAB=20°,OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=20°,
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=140°,
∴∠ACB=∠AOB=70°.
故答案为70°.
14.(东营中考数学)对于函数y=x2+2x+1,当1<x<2时,y随x的增大而 增大 (填写“增大”或“减小”).
【考点】H3:二次函数的性质.
【分析】由y=x2+2x+1=(x+1)2知函数图象开口向上且当x>﹣1时,y随x的增大而增大.
【解答】解:∵y=x2+2x+1=(x+1)2,
∴当x>﹣1时,y随x的增大而增大,
则当1<x<2时,y随x的增大而增大,
故答案为:增大.
15.(东营中考数学)半径为1的圆的内接正三角形的边长为 .
【考点】MM:正多边形和圆.
【分析】欲求△ABC的边长,把△ABC中BC边当弦,作BC的垂线,在Rt△BOD中,求BD的长;根据垂径定理知:BC=2BD,从而求正三角形的边长.
【解答】解:如图所示.
在Rt△BOD中,OB=1,∠OBD=30°,
∴BD=cos30°×OB=×1=.
∵BD=CD,
∴BC=2BD=2×=.
故它的内接正三角形的边长为.
故答案为:.
16.如图,是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”,已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点,AB是半圆的直径,抛物线的解析式为y=x2﹣,则图中CD的长为 .
【考点】(东营中考数学)HA:抛物线与x轴的交点.
【分析】首先令y=x2﹣=0,即可求出AB的长,进而得到OC的长,令x=0,求出y的值,进而得到OD的长,由CD=OC+DO即可求出答案.
【解答】解:令y=x2﹣=0,
解得x=1或﹣1,
即AB=2,
故CO=1,
令x=0,解得y=﹣,
即OD=,
所以CD=CO+OD=1+=,
故答案为.
17.(东营中考数学)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是 0或1 .
【考点】HA:抛物线与x轴的交点;F5:一次函数的性质.
【分析】需要分类讨论:
①若m=0,则函数为一次函数;
②若m≠0,则函数为二次函数.由抛物线与x轴只有一个交点,得到根的判别式的值等于0,且m不为0,即可求出m的值.
【解答】解:①若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,与x轴只有一个交点;
②若m≠0,则函数y=mx2+2x+1,是二次函数.
根据题意得:△=4﹣4m=0,
解得:m=1.
故答案为:0或1.
18.(东营中考数学)如图,在△ABC中,AB=4cm,BC=2cm,∠ABC=30°,把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是 5π cm2.
【考点】MO:扇形面积的计算.
【分析】根据题意可知该阴影部分的面积为两个扇形面积的差,分别计算出两个扇形的面积相减即可得到阴影部分的面积.
【解答】(东营中考数学)解:∵∠ABC=∠A′BC′=30°,
∴△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转了180°﹣30°=150°,
∴按反方向旋转相同的角度即可得到阴影部分为两个扇形面积的差,
∵AB=4cm,BC=2cm
∴S阴影部分==5π.
故答案为:5π.
三、(东营中考数学)解答题:(本大题共5个小题,共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).
19.某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球 B.乒乓球C.羽毛球 D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 200 人;
(2)请你将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
【考点】(东营中考数学)VC:条形统计图;VB:扇形统计图;X6:列表法与树状图法.
【分析】(1)由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数;
(2)由总人数减去喜欢A,B及D的人数求出喜欢C的人数,补全统计图即可;
(3)根据题意列出表格,得出所有等可能的情况数,找出满足题意的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:(1)根据题意得:20÷=200(人),
则这次被调查的学生共有200人;
(2)补全图形,如图所示:
(3)列表如下:
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
甲 | ﹣﹣﹣ | (乙,甲) | (丙,甲) | (丁,甲) |
乙 | (甲,乙) | ﹣﹣﹣ | (丙,乙) | (丁,乙) |
丙 | (甲,丙) | (乙,丙) | ﹣﹣﹣ | (丁,丙) |
丁 | (甲,丁) | (乙,丁) | (丙,丁) | ﹣﹣﹣ |
所有等可能的结果为12种,其中符合要求的只有2种,
则P==.
20.(东营中考数学)如图,在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC,顶点A、B、C及点O均在格点上,请按要求完成以下操作或运算:
(1)将△ABC向上平移4个单位,得到△A1B1C1(不写作法,但要标出字母);
(2)将△ABC绕点O旋转180°,得到△A2B2C2(不写作法,但要标出字母);
(3)求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长.
【考点】(东营中考数学)R8:作图﹣旋转变换;MN:弧长的计算;Q4:作图﹣平移变换.
【分析】(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可;
(2)根据图形旋转的性质画出△ABC绕点O旋转180°后得到的△A2B2C2;
(3)根据弧长的计算公式列式即可求解.
【解答】解:(1)△A1B1C1如图所示;
(2)△A2B2C2如图所示:
(3)∵OA=4,∠AOA2=180°,
∴点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长为=4π.
21.(东营中考数学)如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,若∠BAC=∠CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且∠CAB=30°,求CE的长.
【考点】MD:切线的判定;T7:解直角三角形.
【分析】(1)连接OC,根据OA=OC,推出∠BAC=∠OCA,求出∠OCA=∠CAM,推出OC∥AM,求出OC⊥CD,根据切线的判定推出即可;
(2)根据OC=OA推出∠BAC=∠ACO,求出∠COE=2∠CAB=60°,在Rt△COE中,根据CE=OC•tan60°求出即可.
【解答】(东营中考数学)解:(1)直线CD与⊙O相切.
理由如下:连接OC.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA,
∵∠BAC=∠CAM,
∴∠OCA=∠CAM,
∴OC∥AM,
∵CD⊥AM,
∴OC⊥CD,
∵OC为半径,
∴直线CD与⊙O相切.
(2)∵OC=OA,
∴∠BAC=∠ACO,
∵∠CAB=30°,
∴∠COE=2∠CAB=60°,
∴在Rt△COE中,OC=3,CE=OC•tan60°=.
22.(东营中考数学)某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树.
(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系;
(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?
【考点】HE:二次函数的应用.
【分析】(1)根据每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子列式即可;
(2)根据题意列出函数解析式,利用配方法把二次函数化为顶点式,根据二次函数的性质进行解答即可.
【解答】(东营中考数学)解:(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为:y=600﹣5x(0≤x<120);
(2)设果园多种x棵橙子树时,可使橙子的总产量为w,
则w=
=﹣5x2+100x+60000
=﹣5(x﹣10)2+60500,
∵a=﹣5<0,
∴w的最大值是60500,
则果园多种10棵橙子树时,可使橙子的总产量最大,最大为60500个.
23.(东营中考数学)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,
(1)求证:OD∥BE;
(2)如果OD=6cm,OC=8cm,求CD的长.
【考点】MC:切线的性质;KQ:勾股定理.
【分析】(东营中考数学)(1)首先连接OE,由AM和DE是它的两条切线,易得∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°,由切线长定理,可得∠AOD=∠EOD=∠AOE,∠AOD=∠ABE,根据同位角相等,两直线平行,即可证得OD∥BE;
(2)由(1),易证得∠EOD+∠EOC=90°,然后利用勾股定理,即可求得CD的长.
【解答】(1)证明:连接OE,
∵AM、DE是⊙O的切线,OA、OE是⊙O的半径,
∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°,…
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE,
∵∠ABE=∠AOE,
∴∠AOD=∠ABE,
∴OD∥BE; …
(2)(东营中考数学)解:由(1)得:∠AOD=∠EOD=∠AOE,
同理,有:∠BOC=∠EOC=∠BOE,
∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°,
∴∠EOD+∠EOC=90°,
∴△DOC是直角三角形,…
∴CD==10(cm).…
24.(东营中考数学)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.
(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)先确定出点A,B坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式;用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形;
(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可;
(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可,
【解答】(东营中考数学)解:(1)∵直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,
∴A(5,0),B(0,10),
∵抛物线过原点,
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx,
∵抛物线过点A(5,0),C(8,4),
∴,
∴,
∴抛物线解析式为y=x2﹣x,
∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),
∴AB2=52+102=125,BC2=82+(10﹣4)2=100,AC2=42+(8﹣5)2=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
(2)如图1,
当P,Q运动t秒,即OP=2t,CQ=10﹣t时,
由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,
在Rt△AOP和Rt△ACQ中,
,
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,
∴OP=CQ,
∴2t=10﹣t,
∴t=,
∴当运动时间为时,PA=QA;
(3)存在,
∵y=x2﹣x,
∴抛物线的对称轴为x=,
∵A(5,0),B(0,10),
∴AB=5
设点M(,m),
①若BM=BA时,
∴()2+(m﹣10)2=125,
∴m1=,m2=,
∴M1(,),M2(,),
②若AM=AB时,
∴()2+m2=125,
∴m3=,m4=﹣,
∴M3(,),M4(,﹣),
③若MA=MB时,
∴(﹣5)2+m2=()2+(10﹣m)2,
∴m=5,
∴M(,5),此时点M恰好是线段AB的中点,构不成三角形,舍去,
∴点M的坐标为:M1(,),M2(,),M3(,),M4(,﹣),