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2018东营市胜利一中八年级期末数学试卷【解析版含答案】

2017-11-28 16:34:57文/赵妍妍

 

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2018东营市胜利一中八年级期末数学试卷

一、选择题:(本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项涂在答题卡上.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.)

1.点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为(  )

A.(2,1)              B.(﹣1,﹣2)              C.(1,﹣2)              D.(﹣2,﹣1)

2.若二次函数y=2x2的图象经过点P(1,a),则a的值为(  )

A.              B.1              C.2              D.4

3.(东营中考数学)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为(  )

A.2              B.4              C.6              D.8

4.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是(  )

A.抛物线开口向上

B.抛物线的对称轴是x=1

C.当x=1时,y的最大值为4

D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)

5.(东营中考数学)有20张背面完全一样的卡片,其中8张正面印有天鹅湖风光,7张正面印有黄河入海口自然风景,5张正面印有孙武湖景色.把这些卡片的背面朝上,搅匀后从中随机抽出一张卡片,抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是(  )

A.              B.              C.              D.

6.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BE=CF,连接CE、DF,将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,则旋转角为(  )

A.30°              B.45°              C.60°              D.90°

7.(东营中考数学)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为(  )

A.﹣20m              B.10m              C.20m              D.﹣10m

8.(东营中考数学)将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置,点B的横坐标为2,则点A′的坐标为(  )

A.(1,1)              B.()              C.(﹣1,1)              D.(

9(东营中考数学).2013年“五•一”期间,小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是(  )

A.              B.              C.              D.

10.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是(  )

A.10              B.8              C.4              D.2

 

二、(东营中考数学)填空题:(本大题共8个小题,11-14每小题3分,15-18每小题3分,共28分.)

11.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率是     .

12.已知一个扇形的半径为60cm,圆心角为150°,用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为     cm.

13.如图,△ABC内接于⊙O,∠OAB=20°,则∠C的度数为     .

14.对于函数y=x2+2x+1,当1<x<2时,y随x的增大而     (填写“增大”或“减小”).

15.半径为1的圆的内接正三角形的边长为     .

16.如图,是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”,已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点,AB是半圆的直径,抛物线的解析式为y=x2﹣,则图中CD的长为     .

17.(东营中考数学)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是     .

18.如图,在△ABC中,AB=4cm,BC=2cm,∠ABC=30°,把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是     cm2.

 

三、解答题:(本大题共5个小题,共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).

19.(东营中考数学)某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球  B.乒乓球C.羽毛球  D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:

(1)这次被调查的学生共有     人;

(2)请你将条形统计图(2)补充完整;

(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)

20.(东营中考数学)如图,在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC,顶点A、B、C及点O均在格点上,请按要求完成以下操作或运算:

(1)将△ABC向上平移4个单位,得到△A1B1C1(不写作法,但要标出字母);

(2)将△ABC绕点O旋转180°,得到△A2B2C2(不写作法,但要标出字母);

(3)求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长.

21(东营中考数学).如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,若∠BAC=∠CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为点D.

(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且∠CAB=30°,求CE的长.

22.(东营中考数学)某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树.

(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系;

(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?

23.如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,

(1)求证:OD∥BE;

(2)如果OD=6cm,OC=8cm,求CD的长.

24.(东营中考数学)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.

(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;

(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?

(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

东营中考数学参考答案与试题解析

 

一、选择题:(本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项涂在答题卡上.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.)

1.点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为(  )

A.(2,1)              B.(﹣1,﹣2)              C.(1,﹣2)              D.(﹣2,﹣1)

【考点】R6:关于原点对称的点的坐标.

【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案.

【解答】解:点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为(﹣1,﹣2),

故选:B.

 

2.(东营中考数学)若二次函数y=2x2的图象经过点P(1,a),则a的值为(  )

A.              B.1              C.2              D.4

【考点】H5:二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】直接把P(1,a)代入y=2x2中可计算出a的值.

【解答】解:把P(1,a)代入y=2x2得a=2×1=2.

故选C.

 

3.(东营中考数学)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为(  )

A.2              B.4              C.6              D.8

【考点】M2:垂径定理;KQ:勾股定理.

【分析】根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中,由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长.

【解答】解:∵CE=2,DE=8,

∴OB=5,

∴OE=3,

∵AB⊥CD,

∴在△OBE中,得BE=4,

∴AB=2BE=8.

故选:D.

 

4.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是(  )

A.抛物线开口向上

B.抛物线的对称轴是x=1

C.当x=1时,y的最大值为4

D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)

【考点】(东营中考数学)H3:二次函数的性质.

【分析】把(0,﹣3)代入抛物线解析式求c的值,然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标.

【解答】解:把(0,﹣3)代入y=x2﹣2x+c中得c=﹣3,

抛物线为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4=(x+1)(x﹣3),

所以:抛物线开口向上,对称轴是x=1,

当x=1时,y的最小值为﹣4,

与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0);C错误.

故选C.

 

5.(东营中考数学)有20张背面完全一样的卡片,其中8张正面印有天鹅湖风光,7张正面印有黄河入海口自然风景,5张正面印有孙武湖景色.把这些卡片的背面朝上,搅匀后从中随机抽出一张卡片,抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是(  )

A.              B.              C.              D.

【考点】X4:概率公式.

【分析】根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数;二者的比值就是其发生的概率的大小.

【解答】解:共有图片20张,天鹅湖风光卡片8张,抽到正面是天鹅湖风光卡片的概率是: =

故选C.

6.(东营中考数学)如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BE=CF,连接CE、DF,将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,则旋转角为(  )

A.30°              B.45°              C.60°              D.90°

【考点】R2:旋转的性质.

【分析】由题意得到D对应点为C,连接OC,OD,∠DOC即为旋转角,利用正方形性质求出即可.

【解答】(东营中考数学)解:∵正方形ABCD,O为正方形的中心,

∴OD=OC,OD⊥OC,

∴∠DOC=90°,

由题意得到D对应点为C,连接OC,OD,∠DOC即为旋转角,

则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,旋转角为90°,

故选D.

 

7.(东营中考数学)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为(  )

A.﹣20m              B.10m              C.20m              D.﹣10m

【考点】HE:二次函数的应用.

【分析】根据题意,把y=﹣4直接代入解析式即可解答.

【解答】解:根据题意B的纵坐标为﹣4,

把y=﹣4代入y=﹣x2,

得x=±10,

∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),

∴AB=20m.

即水面宽度AB为20m.

故选C.

 

8.(东营中考数学)将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置,点B的横坐标为2,则点A′的坐标为(  )

A.(1,1)              B.()              C.(﹣1,1)              D.(

【考点】(东营中考数学)R7:坐标与图形变化﹣旋转.

【分析】过点A作AC⊥OB于C,过点A′作A′C′⊥OB′于C′,根据等腰直角三角形的性质求出OC=AC,再根据旋转的性质可得OC′=OC,A′C′=AC,然后写出点A′的坐标即可.

【解答】解:如图,过点A作AC⊥OB于C,过点A′作A′C′⊥OB′于C′,

∵△AOB是等腰直角三角形,点B的横坐标为2,

∴OC=AC=×2=1,

∵△A′OB′是△AOB绕点O逆时针旋转90°得到,

∴OC′=OC=1,A′C′=AC=1,

∴点A′的坐标为(﹣1,1).

故选C.

 

9.(东营中考数学)2013年“五•一”期间,小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是(  )

A.              B.              C.              D.

【考点】X6:列表法与树状图法.

【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一景点的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解:用A、B、C表示:东营港、黄河入海口、龙悦湖;

画树状图得:

∵共有9种等可能的结果,则两家抽到同一景点的有3种情况,

∴则两家抽到同一景点的概率是: =

故选A.

 

10.(东营中考数学)如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是(  )

A.10              B.8              C.4              D.2

【考点】MC:切线的性质;D5:坐标与图形性质.

【分析】如图连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H,先证明四边形OAMH是矩形,根据垂径定理求出HB,在RT△AOM中求出OM即可.

【解答】解:如图连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H.

∵⊙M与x轴相切于点A(8,0),

∴AM⊥OA,OA=8,

∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°,

∴四边形OAMH是矩形,

∴AM=OH,

∵MH⊥BC,

∴HC=HB=6,

∴OH=AM=10,

在RT△AOM中,OM===2

故选D.

 

二、(东营中考数学)填空题:(本大题共8个小题,11-14每小题3分,15-18每小题3分,共28分.)

11.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率是  .

【考点】X4:概率公式;R5:中心对称图形.

【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形,于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率.

【解答】解:在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中,平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形,

所以这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率=

故答案为:

 

12.(东营中考数学)已知一个扇形的半径为60cm,圆心角为150°,用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为 25 cm.

【考点】MP:圆锥的计算.

【分析】首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长,然后利用圆的周长公式即可求解.

【解答】解:扇形的弧长是: =50πcm,

设底面半径是rcm,则2πr=50π,

解得:r=25.

故答案是:25.

13.如图,△ABC内接于⊙O,∠OAB=20°,则∠C的度数为 70° .

【考点】M5:圆周角定理.

【分析】(东营中考数学)由△ABC内接于⊙O,∠OAB=20°,根据等腰三角形的性质,即可求得∠OBA的度数,∠AOB的度数,又由圆周角定理,求得∠ACB的度数.

【解答】解:∵∠OAB=20°,OA=OB,

∴∠OBA=∠OAB=20°,

∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=140°,

∴∠ACB=∠AOB=70°.

故答案为70°.

 

14.(东营中考数学)对于函数y=x2+2x+1,当1<x<2时,y随x的增大而 增大 (填写“增大”或“减小”).

【考点】H3:二次函数的性质.

【分析】由y=x2+2x+1=(x+1)2知函数图象开口向上且当x>﹣1时,y随x的增大而增大.

【解答】解:∵y=x2+2x+1=(x+1)2,

∴当x>﹣1时,y随x的增大而增大,

则当1<x<2时,y随x的增大而增大,

故答案为:增大.

 

15.(东营中考数学)半径为1的圆的内接正三角形的边长为  .

【考点】MM:正多边形和圆.

【分析】欲求△ABC的边长,把△ABC中BC边当弦,作BC的垂线,在Rt△BOD中,求BD的长;根据垂径定理知:BC=2BD,从而求正三角形的边长.

【解答】解:如图所示.

在Rt△BOD中,OB=1,∠OBD=30°,

∴BD=cos30°×OB=×1=

∵BD=CD,

∴BC=2BD=2×=

故它的内接正三角形的边长为

故答案为:

 

16.如图,是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”,已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点,AB是半圆的直径,抛物线的解析式为y=x2﹣,则图中CD的长为  .

【考点】(东营中考数学)HA:抛物线与x轴的交点.

【分析】首先令y=x2﹣=0,即可求出AB的长,进而得到OC的长,令x=0,求出y的值,进而得到OD的长,由CD=OC+DO即可求出答案.

【解答】解:令y=x2﹣=0,

解得x=1或﹣1,

即AB=2,

故CO=1,

令x=0,解得y=﹣

即OD=

所以CD=CO+OD=1+=

故答案为

 

17.(东营中考数学)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是 0或1 .

【考点】HA:抛物线与x轴的交点;F5:一次函数的性质.

【分析】需要分类讨论:

①若m=0,则函数为一次函数;

②若m≠0,则函数为二次函数.由抛物线与x轴只有一个交点,得到根的判别式的值等于0,且m不为0,即可求出m的值.

【解答】解:①若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,与x轴只有一个交点;

②若m≠0,则函数y=mx2+2x+1,是二次函数.

根据题意得:△=4﹣4m=0,

解得:m=1.

故答案为:0或1.

18.(东营中考数学)如图,在△ABC中,AB=4cm,BC=2cm,∠ABC=30°,把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是 5π cm2.

【考点】MO:扇形面积的计算.

【分析】根据题意可知该阴影部分的面积为两个扇形面积的差,分别计算出两个扇形的面积相减即可得到阴影部分的面积.

【解答】(东营中考数学)解:∵∠ABC=∠A′BC′=30°,

∴△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转了180°﹣30°=150°,

∴按反方向旋转相同的角度即可得到阴影部分为两个扇形面积的差,

∵AB=4cm,BC=2cm

∴S阴影部分==5π.

故答案为:5π.

三、(东营中考数学)解答题:(本大题共5个小题,共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).

19.某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球  B.乒乓球C.羽毛球  D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:

(1)这次被调查的学生共有 200 人;

(2)请你将条形统计图(2)补充完整;

(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)

【考点】(东营中考数学)VC:条形统计图;VB:扇形统计图;X6:列表法与树状图法.

【分析】(1)由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数;

(2)由总人数减去喜欢A,B及D的人数求出喜欢C的人数,补全统计图即可;

(3)根据题意列出表格,得出所有等可能的情况数,找出满足题意的情况数,即可求出所求的概率.

【解答】解:(1)根据题意得:20÷=200(人),

则这次被调查的学生共有200人;

 

(2)补全图形,如图所示:

 

(3)列表如下:

 

﹣﹣﹣

(乙,甲)

(丙,甲)

(丁,甲)

(甲,乙)

﹣﹣﹣

(丙,乙)

(丁,乙)

(甲,丙)

(乙,丙)

﹣﹣﹣

(丁,丙)

(甲,丁)

(乙,丁)

(丙,丁)

﹣﹣﹣

所有等可能的结果为12种,其中符合要求的只有2种,

则P==

 

20.(东营中考数学)如图,在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC,顶点A、B、C及点O均在格点上,请按要求完成以下操作或运算:

(1)将△ABC向上平移4个单位,得到△A1B1C1(不写作法,但要标出字母);

(2)将△ABC绕点O旋转180°,得到△A2B2C2(不写作法,但要标出字母);

(3)求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长.

【考点】(东营中考数学)R8:作图﹣旋转变换;MN:弧长的计算;Q4:作图﹣平移变换.

【分析】(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可;

(2)根据图形旋转的性质画出△ABC绕点O旋转180°后得到的△A2B2C2;

(3)根据弧长的计算公式列式即可求解.

【解答】解:(1)△A1B1C1如图所示;

(2)△A2B2C2如图所示:

(3)∵OA=4,∠AOA2=180°,

∴点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长为=4π.

 

21.(东营中考数学)如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,若∠BAC=∠CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为点D.

(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且∠CAB=30°,求CE的长.

【考点】MD:切线的判定;T7:解直角三角形.

【分析】(1)连接OC,根据OA=OC,推出∠BAC=∠OCA,求出∠OCA=∠CAM,推出OC∥AM,求出OC⊥CD,根据切线的判定推出即可;

(2)根据OC=OA推出∠BAC=∠ACO,求出∠COE=2∠CAB=60°,在Rt△COE中,根据CE=OC•tan60°求出即可.

【解答】(东营中考数学)解:(1)直线CD与⊙O相切.

理由如下:连接OC.

∵OA=OC,

∴∠BAC=∠OCA,

∵∠BAC=∠CAM,

∴∠OCA=∠CAM,

∴OC∥AM,

∵CD⊥AM,

∴OC⊥CD,

∵OC为半径,

∴直线CD与⊙O相切.

 

(2)∵OC=OA,

∴∠BAC=∠ACO,

∵∠CAB=30°,

∴∠COE=2∠CAB=60°,

∴在Rt△COE中,OC=3,CE=OC•tan60°=

 

22.(东营中考数学)某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树.

(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系;

(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?

【考点】HE:二次函数的应用.

【分析】(1)根据每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子列式即可;

(2)根据题意列出函数解析式,利用配方法把二次函数化为顶点式,根据二次函数的性质进行解答即可.

【解答】(东营中考数学)解:(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为:y=600﹣5x(0≤x<120);

(2)设果园多种x棵橙子树时,可使橙子的总产量为w,

则w=

=﹣5x2+100x+60000

=﹣5(x﹣10)2+60500,

∵a=﹣5<0,

∴w的最大值是60500,

则果园多种10棵橙子树时,可使橙子的总产量最大,最大为60500个.

 

23.(东营中考数学)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,

(1)求证:OD∥BE;

(2)如果OD=6cm,OC=8cm,求CD的长.

【考点】MC:切线的性质;KQ:勾股定理.

【分析】(东营中考数学)(1)首先连接OE,由AM和DE是它的两条切线,易得∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°,由切线长定理,可得∠AOD=∠EOD=∠AOE,∠AOD=∠ABE,根据同位角相等,两直线平行,即可证得OD∥BE;

(2)由(1),易证得∠EOD+∠EOC=90°,然后利用勾股定理,即可求得CD的长.

【解答】(1)证明:连接OE,

∵AM、DE是⊙O的切线,OA、OE是⊙O的半径,

∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°,…

∴∠AOD=∠EOD=∠AOE,

∵∠ABE=∠AOE,

∴∠AOD=∠ABE,

∴OD∥BE; …

 

(2)(东营中考数学)解:由(1)得:∠AOD=∠EOD=∠AOE,

同理,有:∠BOC=∠EOC=∠BOE,

∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°,

∴∠EOD+∠EOC=90°,

∴△DOC是直角三角形,…

∴CD==10(cm).…

 

24.(东营中考数学)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.

(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;

(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?

(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】HF:二次函数综合题.

【分析】(1)先确定出点A,B坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式;用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形;

(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可;

(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可,

【解答】(东营中考数学)解:(1)∵直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,

∴A(5,0),B(0,10),

∵抛物线过原点,

∴设抛物线解析式为y=ax2+bx,

∵抛物线过点A(5,0),C(8,4),

∴抛物线解析式为y=x2﹣x,

∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),

∴AB2=52+102=125,BC2=82+(10﹣4)2=100,AC2=42+(8﹣5)2=25,

∴AC2+BC2=AB2,

∴△ABC是直角三角形.

(2)如图1,

当P,Q运动t秒,即OP=2t,CQ=10﹣t时,

由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,

在Rt△AOP和Rt△ACQ中,

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,

∴OP=CQ,

∴2t=10﹣t,

∴t=

∴当运动时间为时,PA=QA;

(3)存在,

∵y=x2﹣x,

∴抛物线的对称轴为x=

∵A(5,0),B(0,10),

∴AB=5

设点M(,m),

①若BM=BA时,

∴()2+(m﹣10)2=125,

∴m1=,m2=

∴M1(),M2(),

②若AM=AB时,

∴()2+m2=125,

∴m3=,m4=﹣

∴M3(),M4(,﹣),

③若MA=MB时,

∴(﹣5)2+m2=()2+(10﹣m)2,

∴m=5,

∴M(,5),此时点M恰好是线段AB的中点,构不成三角形,舍去,

∴点M的坐标为:M1(),M2(),M3(),M4(,﹣),

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