2017黄石市中考数学模拟试题【解析版含答案】

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2017黄石市中考数学模拟试题　

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（　　）

A．3和4              B．3和﹣4              C．3和﹣1              D．3和1

2．（3分）二次函数y=x2﹣2x+2的顶点坐标是（　　）

A．（1，1）              B．（2，2）              C．（1，2）              D．（1，3）

3．（2017黄石数学）（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常数项为0，则m的值为（　　）

A．1              B．2              C．1或2              D．0

4．（3分）用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　）

A．（x+3）2=﹣4              B．（x﹣3）2=4              C．（x+3）2=5              D．（x+3）2=±

5．（3分）下列方程中没有实数根的是（　　）

A．x2﹣x﹣1=0              B．x2+3x+2=0

C．2015x2+11x﹣20=0              D．x2+x+2=0

6．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（　　）

A．200（1﹣x）2=162              B．200（1+x）2=162              C．162（1+x）2=200              D．162（1﹣x）2=200

7．（3分）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，那么所得到的抛物线的函数关系式是（　　）

A．y=（x+2）2+3              B．y=（x+2）2﹣3              C．y=（x﹣2）2+3              D．y=（x﹣2）2﹣3

8．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）

A．              B．              C．              D．

9．（2017黄石数学）（3分）已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（　　）

A．a确定抛物线的形状与开口方向

B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变

C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变

D．若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变

10．（3分）已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：

①b2﹣4ac＜0；

②ab+ac＜0；

③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；

④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，

其中正确的个数是（　　）

A．1              B．2              C．3              D．4

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是　   　．

12．（2017黄石数学）（3分）如果方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一个根是1，那么k=　   　，另一个根x=　   　．

13．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为　   　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　   　．

15．（3分）如图，两条抛物线，与分别经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为　   　．

16．（2017黄石数学）（3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则化简代数式+=　   　．

三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）

17．（12分）解方程

（1）2（x﹣3）2=8（直接开平方法）       

（2）4x2﹣6x﹣3=0（配方法）

（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（分解因式法）    

（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）

18．（2017黄石数学）（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．

（1）求实数k的取值范围．

（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．

19．（8分）阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0  ①，解得y1=1，y2=4．

当y=1时，x2=1，∴x=±1；

当y=4时，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　   　法达到　   　的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．

20．（8分）飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是：S=60t﹣1.5t2

（1）求飞机着陆时的速度；

（2）求出t的取值范围；

（3）画出函数S的图象并求出飞机着陆后滑行多远才能停下来？

21．（2017黄石数学）（7分）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

22．（8分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．

（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；

（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；

（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．

23．（2017黄石数学）（9分）某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价（1≤x≤100）为（x+40）元/件，而该商品每天的销量满足关系式y=200﹣2x．如果该商品第20天的售价按7折出售，仍然可以获得40%的高额利润．

（1）求该公司生产每件商品的成本为多少元；

（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？

（3）该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至5000元之间（包含4000和5000），且保证至少有90天的盈利，请直接写出a的取值范围．

24．（12分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；

（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；

（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．

2017黄石市中考数学模拟试题参考答案与试题解析

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（　　）

A．3和4              B．3和﹣4              C．3和﹣1              D．3和1

【分析】根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案．

【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1=0，

∴方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣4；

故选B．

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

2．（3分）二次函数y=x2﹣2x+2的顶点坐标是（　　）

A．（1，1）              B．（2，2）              C．（1，2）              D．（1，3）

【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．

【解答】解：y=x2﹣2x+2的顶点横坐标是﹣=1，纵坐标是=1，

y=x2﹣2x+2的顶点坐标是（1，1）．

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是（﹣，）．

3．（2017黄石数学）（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常数项为0，则m的值为（　　）

A．1              B．2              C．1或2              D．0

【分析】根据一元二次方程的定义可知m﹣2≠0，再根据常数项为0，即可得到m2﹣2m=0，列出方程组求解即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常数项为0，

∴，

解m﹣2≠0得m≠2；

解m2﹣2m=0得m=0或2．

∴m=0．

故选D．

【点评】此题考查了一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程必须具备以下3个条件：

（1）是整式方程，

（2）只含有一个未知数，

（3）方程中未知数的最高次数是2．

这三个条件缺一不可，尤其要注意二次项系数a≠0这个最容易被忽略的条件．

4．（2017黄石数学）（3分）用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　）

A．（x+3）2=﹣4              B．（x﹣3）2=4              C．（x+3）2=5              D．（x+3）2=±

【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．

【解答】解：∵x2+6x+4=0，

∴x2+6x=﹣4，

∴x2+6x+9=5，即（x+3）2=5．

故选：C．

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

5．（3分）下列方程中没有实数根的是（　　）

A．x2﹣x﹣1=0              B．x2+3x+2=0

C．2015x2+11x﹣20=0              D．x2+x+2=0

【分析】分别求出各个选项中一元二次方程根的判别式，进而作出判断．

【解答】解：A、x2﹣x﹣1=0，△=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=9＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；

B、x2+3x+2=0，△=32﹣4×2=1＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；

C、2015x2+11x﹣20=0，△=112﹣4×2015×（﹣20）＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；

D、x2+x+2=0，△=12﹣4×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；

故选D．

【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

6．（2017黄石数学）（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（　　）

A．200（1﹣x）2=162              B．200（1+x）2=162              C．162（1+x）2=200              D．162（1﹣x）2=200

【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．

【解答】解：由题意可列方程是：200×（1﹣x）2=168．

故选A．

【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格．

7．（3分）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，那么所得到的抛物线的函数关系式是（　　）

A．y=（x+2）2+3              B．y=（x+2）2﹣3              C．y=（x﹣2）2+3              D．y=（x﹣2）2﹣3

【分析】根据平移规律：“左加右减，上加下减”，直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

【解答】解：抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得

y=（x+2）2﹣3，

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

8．（2017黄石数学）（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）

A．              B．              C．              D．

【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．

【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），

∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；

当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；

当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；

故选：D．

【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．

9．（3分）已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（　　）

A．a确定抛物线的形状与开口方向

B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变

C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变

D．若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变

【分析】根据平移的性质判断即可．

【解答】解：∵平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；

∴抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，a确定抛物线的形状与开口方向；

若将抛物线C沿y轴平移，顶点发生了变化，对称轴没有变化，a的值不变，则﹣不变，所以b的值不变；

若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a的值不变，

故选D．

【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

10．（2017黄石数学）（3分）已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：

①b2﹣4ac＜0；

②ab+ac＜0；

③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；

④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，

其中正确的个数是（　　）

A．1              B．2              C．3              D．4

【分析】根据题意把a的符号分成两种情况，再由a2+ab+ac＜0判断出a+b+c的符号，即可得出当x=1时，y的符号，从而得出b+c的符号，再得出方程ax2+bx+c=0有一个根大于1，一个根小于1，即可得出（x1﹣1）（x2﹣1）＜0；b2﹣4ac＞0；抛物线和坐标轴有二个交点．

【解答】解：当a＞0时，

∵a2+ab+ac＜0，

∴a+b+c＜0，

∴b+c＜0，

如图1，

∴b2﹣4ac＞0，故①错误；

a（b+c）＜0，故②正确；

∴方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，

∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，

即（x1﹣1）（1﹣x2）＞0，故③正确；

∴二次函数的图象与坐标轴有二个不同交点，故④错误；

故选B．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键．

二、（2017黄石数学）认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是　a＞﹣2且a≠0　．

【分析】本题根据一元二次方程的定义和解不等式来解答；

一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．

【解答】解：∵3a+6＞0，

∴3a＞﹣6，

解得：a＞﹣2；

根据一元二次方程的定义，a≠0；

所以a＞﹣2且a≠0．

【点评】本题是一个方程与不等式相结合的题目，解关于x的不等式是本题的一个难点；解不等式时，移项时要注意符号的变化．

12．（3分）如果方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一个根是1，那么k=　3　，另一个根x=　﹣3　．

【分析】可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出k值和方程的另一根．

【解答】解：设方程的另一根为x1，

又∵x=1，

∴，

解得x1=﹣3，k=3．

故填空答案为k=3，x=﹣3．

【点评】此题也可先将x=1代入方程x2+（k﹣1）x﹣3=0中求出k的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根．

13．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为　y=﹣x2+2x+　．

【分析】根据题意，已知对称轴x=2，图象经过点（5，0），根据抛物线的对称性，可知图象经过另一点（﹣1，0），设抛物线的交点式y=a（x+1）（x﹣5），把点（1，4）代入即可．

【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=2，且经过点（5，0），

根据抛物线的对称性，图象经过另一点（﹣1，0），

设抛物线的交点式y=a（x+1）（x﹣5），

把点（1，4）代入，得：

4=a（1+1）×（1﹣5），解得a=﹣，

所以y=﹣（x+1）（x﹣5），

即y=﹣x2+2x+．

故答案为：y=﹣x2+2x+．

【点评】当已知函数图象与x轴有两交点时，利用交点式求解析式比较简单；

当已知函数的顶点坐标，或已知函数对称轴时，利用顶点式求解析式比较简单；

当已知函数图象经过一般的三点时，利用一般式求解．

14．（2017黄石数学）（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　1　．

【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．

【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

∴抛物线的顶点坐标为（1，1），

∵四边形ABCD为矩形，

∴BD=AC，

而AC⊥x轴，

∴AC的长等于点A的纵坐标，

当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，

∴对角线BD的最小值为1．

故答案为1．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．

15．（3分）如图，两条抛物线，与分别经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为　8　．

【分析】把阴影图形分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．

【解答】（2017黄石数学）解：如图，过y2=﹣x2﹣1的顶点（0，﹣1）作平行于x轴的直线与y1=﹣x2+1围成的阴影，

同过点（0，﹣3）作平行于x轴的直线与y2=﹣x2﹣1围成的图形形状相同，

故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，

因此矩形的面积为4×2=8．

故填8．

【点评】此题主要考查利用二次函数图象的特点与分割拼凑的方法求不规则图形的面积．

16．（3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则化简代数式+=　　．

【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，求c的值及a、b的关系式，根据对称轴的位置判断a的取值范围，再把二次根式化简求值．

【解答】解：把（﹣1，0）和（0，﹣1）两点代入y=ax2+bx+c中，得

a﹣b+c=0，c=﹣1，

∴b=a+c=a﹣1，

由图象可知，抛物线对称轴x=﹣＞0，且a＞0，

∴a﹣1＜0，0＜a＜1，

+

=+

=|a+|+|a﹣|，

=a+﹣a+，

=．

故答案为：．

【点评】本题考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系，对称轴的性质，根据对称轴的位置确定a的取值范围的解题的关键．

三、（2017黄石数学）全面答一答（本题有9个小题，共72分）

17．（12分）解方程

（1）2（x﹣3）2=8（直接开平方法）       

（2）4x2﹣6x﹣3=0（配方法）

（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（分解因式法）    

（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）

【分析】（1）根据直接开方法的步骤即可解决问题；

（2）根据配方法的步骤即可解决问题；

（3）移项后，提取公因式（2x﹣3）即可解决问题；

（4）化为一般式，再利用因式分解法解方程即可；

【解答】解：（1）∵2（x﹣3）2=8，

∴（x﹣3）2=4，

∴x﹣3=±2

∴x1=1．x2=5．

（2）∵4x2﹣6x﹣3=0，

∴x2﹣x=，

∴x2﹣x+（）2=+（）2，

∴（x﹣）2=，

∴x1=，x=．

（3）∵（2x﹣3）2=5（2x﹣3），

∴（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0，

∴2x﹣3=0或2x﹣8=0，

∴x1=，x2=4．

（4）∵（x+8）（x+1）=﹣12，

∴x2+9x+20=0，

∴（x+4）（x+5）=0，

∴x+4=0或x+5=0

∴x=﹣4或x=﹣5．

【点评】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握配方法、直接开方法、公式法、因式分解法等知识，属于中考常考题型．

18．（2017黄石数学）（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．

（1）求实数k的取值范围．

（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．

【分析】（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；

（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，根据x1+x2=﹣x1•x2得出﹣（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．

【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，

解得：k＞，

即实数k的取值范围是k＞；

（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，

又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，

∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），

解得：k1=0，k2=2，

∵k＞，

∴k只能是2．

【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．

19．（2017黄石数学）（8分）阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0  ①，解得y1=1，y2=4．

当y=1时，x2=1，∴x=±1；

当y=4时，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到　降次　的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．

【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．

（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．

【解答】解：（1）换元，降次

（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，

解得y1=6，y2=﹣2．

由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．

由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，

b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．

所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．

【点评】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．

20．（2017黄石数学）（8分）飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是：S=60t﹣1.5t2

（1）求飞机着陆时的速度；

（2）求出t的取值范围；

（3）画出函数S的图象并求出飞机着陆后滑行多远才能停下来？

【分析】（1）直接由函数解析式得出答案即可；

（2）由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当S取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可；

（3）利用配方法求得函数的最值，也就是飞机着陆后滑行的最远距离．

【解答】解：（1）飞机着陆时的速度V=60；

（2）当S取得最大值时，飞机停下来，

则S=60t﹣1.5t2=﹣1.5（x﹣20）2+600，

此时t=20

因此t的取值范围是0≤t≤20；

（3）如图，

S=60t﹣1.5t2=﹣1.5（x﹣20）2+600．

飞机着陆后滑行600米才能停下来．

【点评】此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．

21．（7分）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

【分析】设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为56米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】（2017黄石数学）解：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），

根据题意得：2××（8﹣2x）=56，

整理得：3x2﹣32x+52=0，

解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）．

答：人行通道的宽为2米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22．（8分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．

（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；

（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；

（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．

【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b和c；

（2）令y=0，抛物线和x轴有公共点，即△≥0，和非负数确定出m的值，

（3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y1，y2，求出y2﹣y1分情况讨论即可

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，

∴，

∴，

即：b=2，c=m2+2m+2，

（2）由（1）得y=x2+2x+m2+2m+2，

令y=0，得x2+2x+m2+2m+2=0，

∵抛物线与x轴有公共点，

∴△=4﹣4（m2+2m+2）≥0，

∴（m+1）2≤0，

∵（m+1）2≥0，

∴m+1=0，

∴m=﹣1；

（3）由（1）得，y=x2+2x+m2+2m+2，

∵（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线的图象上的两点，

∴y1=a2+2a+m2+2m+2，y2=（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2，

∴y2﹣y1=[（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2]﹣[a2+2a+m2+2m+2]

=4（a+2）

当a+2≥0，即a≥﹣2时，y2﹣y1≥0，

当a+2＜0，即a＜﹣2时，y2﹣y1＜0．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b，用m表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．

23．（2017黄石数学）（9分）某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价（1≤x≤100）为（x+40）元/件，而该商品每天的销量满足关系式y=200﹣2x．如果该商品第20天的售价按7折出售，仍然可以获得40%的高额利润．

（1）求该公司生产每件商品的成本为多少元；

（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？

（3）该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至5000元之间（包含4000和5000），且保证至少有90天的盈利，请直接写出a的取值范围．

【分析】（1）设该公司生产每件商品的成本为a元，根据：实际售价﹣成本=利润，列出方程，解方程可得；

（2）根据：每天利润=单件利润×每天销售量列出函数关系式，配方成顶点式可得函数的最值情况；

（3）根据（2）中每天利润减去每天开支a元列出函数关系式P=﹣2（x﹣45）2+6050﹣a，根据最大利润要控制在4000元至5000元之间可得关于a的不等式，解不等式可得a的取值范围，再由至少有90天的盈利可知﹣2x2+180x+2000﹣a=0的两根x1、x2间距离x1﹣x2≥90，根据韦达定理可得关于a的不等式，求得a的范围，综合上述情况确定a的范围．

【解答】解：（1）设该公司生产每件商品的成本为a元，根据题意，

得：0.7×（20+40）﹣a=0.4a，

解得：a=30，

故该公司生产每件商品的成本为30元；

（2）设第x天的销售利润为W，

则：W=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，

∴当x=45时，W取得最大值，最大值为6050元，

故问销售该商品第45天时，每天的利润最大，最大利润是6050元；

（3）记公司每天控制人工、水电和房租支出共计a元后利润为P，

则P=﹣2（x﹣45）2+6050﹣a，

根据题意：4000≤6050﹣a≤5000，

解得：1050≤a≤2050，

又∵至少有90天的盈利，

∴﹣2x2+180x+2000﹣a=0的两根x1、x2间距离x1﹣x2≥90，

∴（x1﹣x2）2≥902，即（x1+x2）2﹣4x1x2≥902，

∵x1+x2=90，x1x2=，

∴902﹣4×≥902，解得：a≤2000，

综上，1050≤a≤2000．

【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，明确不等关系并据此列出方程或函数关系式是解题基础，根据题意挖掘出不等关系求a的范围是关键．

24．（2017黄石数学）（12分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；

（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；

（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．

【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；

（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；

（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ=DC=，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4即可．

【解答】解：

（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．

令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，

解得，x=﹣3或x=l，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1．

∵M（m，0），

∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2．

（3）∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴矩形的周长最大时，m=﹣2．

∵A（﹣3，0），C（0，3），

设直线AC的解析式y=kx+b，

∴

解得k=l，b=3，

∴解析式y=x+3，

令x=﹣2，则y=1，

∴E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=AM×EM=．

（4）∵M（﹣2，0），抛物线的对称轴为x=﹣l，

∴N应与原点重合，Q点与C点重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，

∴D（﹣1，4），

∴DQ=DC=．

∵FG=2DQ，

∴FG=4．

设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3），

∵点G在点F的上方且FG=4，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4．

解得n=﹣4或n=1，

∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长．

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