B. C. D.
3.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,AC=4,BC=3,则cosA等于( )
A. B. C. D.
4.(2017银川数学)某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16m,半径OA=10m,则中间柱CD的高度为( )米?
A.6 B.4 C.8 D.5
5.如图,点A、B、C是⊙0上的三点,若∠OBC=50°,则∠A的度数是( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
6.从1到9这九个自然数中任取一个,是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
7.(2017银川数学)把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为( )
A.y=﹣(x﹣1)2﹣3 B.y=﹣(x+1)2﹣3 C.y=﹣(x﹣1)2+3 D.y=﹣(x+1)2+3
8.对于抛物线y=﹣(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(﹣1,3);
④x>1时,y随x的增大而减小,
其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每题3分,共24分)
9.分解因式:2a2﹣4a+2= .
10.计算: +|﹣3|﹣= .
11.当m= 时,函数是二次函数.
12.在半径为18的圆中,120°的圆心角所对的弧长是 .
13.(2017银川数学)如图,⊙O的内接正六边形的边长是6,则边心距为 .
14.抛物线y=2(x﹣3)(x+2)的顶点坐标是 .
15.如图,P为正三角形ABC外接圆上一点,则∠APB为 .
16.如图,在正方形ABCD中,对角线BD的长为.若将BD绕点B旋转后,点D落在BC延长线上的点D′处,点D经过的路径为弧DD′,则图中阴影部分的面积是 .
三、(2017银川数学)解答题(共72分)
17.解不等式组.
18.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=﹣1.
19.袋子中装有三个完全相同的球,分别标有:“1”“2”“3”,小颖随机从中摸出一个球不放回,并以该球上的数字作为十位数;小颖再摸一个球,以该球上的数字作为个位数,那么,所得数字是偶数的概率是多少?(要求画出树状图或列出表格进行解答.)
20.(2017银川数学)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,1),B(﹣4,5),C(﹣5,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.
21.近几年我市加大中职教育投入力度,取得了良好的社会效果.某校随机调查了九年级m名学生的升学意向,并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图.请你根据图中的信息解答下列问题:
(1)m= ;
(2)扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角α= ;
(3)请补全条形统计图;
(4)若该校九年级有学生900人,估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高?
22(2017银川数学).如图,已知▱ABCD中,F是BC边的中点,连接DF并延长,交AB的延长线于点E.求证:AB=BE.
23.如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,背水坡AB的长为12m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为2:3的斜坡AD.求DB的长.(结果保留根号)
24.如图,AB是⊙0的直径,AB=10,C、D是⊙O上的点,∠CDB=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E,则OE等于多少?
25.如图,⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E,F为DC延长线上一点,且∠CBF=∠CDB.
(1)求证:FB为⊙O的切线;
(2)若AB=8,CE=2,求⊙O的半径.
26(2017银川数学).某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按拟定的价格进行试销,通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据:
单价(元/件) | 30 | 34 | 38 | 40 | 42 |
销量(件) | 40 | 32 | 24 | 20 | 16 |
(1)计算这5天销售额的平均数(销售额=单价×销量);
(2)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系,求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围);
(3)预计在今后的销售中,销量与单价仍然存在(2)中的关系,且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少?
2017年宁夏银川市贺兰四中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题3分,共24分)
1.用激光测距仪测得两物体间的距离为14000000m,将14000000用科学记数法表示为( )
A.14×107 B.1.4×106 C.1.4×107 D.0.14×108
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:将14000000用科学记数法表示为1.4×107,
故选:C.
2(2017银川数学).下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故A选项错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故B选项错误;
C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故D选项错误.
故选:C.
3.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,AC=4,BC=3,则cosA等于( )
A. B. C. D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】首先运用勾股定理求出斜边的长度,再利用锐角三角函数的定义求解.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=5.
∴cosA=.
故选C.
4.(2017银川数学)某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16m,半径OA=10m,则中间柱CD的高度为( )米?
A.6 B.4 C.8 D.5
【考点】垂径定理的应用.
【分析】由垂径定理,可得AD=AB,然后由勾股定理求得OD的长,继而求得中间柱CD的高度.
【解答】解:∵CD是中间柱,
即=,
∴OC⊥AB,
∴AD=BD=AB=×16=8(m),
∵半径OA=10m,
在Rt△AOD中,OD==6(m),
∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4(m).
故选B.
5.如图,点A、B、C是⊙0上的三点,若∠OBC=50°,则∠A的度数是( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
【考点】圆周角定理.
【分析】在等腰三角形OBC中求出∠BOC,继而根据圆周角定理可求出∠A的度数.
【解答】解:∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC=50°,
∴∠BOC=180°﹣50°﹣50°=80°,
∴∠A=∠BOC=40°.
故选:A.
6.(2017银川数学)从1到9这九个自然数中任取一个,是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】概率公式.
【分析】先从1~9这九个自然数中找出是偶数的有2、4、6、8共4个,然后根据概率公式求解即可.
【解答】解:1~9这九个自然数中,是偶数的数有:2、4、6、8,共4个,
∴从1~9这九个自然数中任取一个,是偶数的概率是:.
故选:B.
7.把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为( )
A.y=﹣(x﹣1)2﹣3 B.y=﹣(x+1)2﹣3 C.y=﹣(x﹣1)2+3 D.y=﹣(x+1)2+3
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】利用二次函数平移的性质.
【解答】解:当y=﹣x2向左平移1个单位时,顶点由原来的(0,0)变为(﹣1,0),
当向上平移3个单位时,顶点变为(﹣1,3),
则平移后抛物线的解析式为y=﹣(x+1)2+3.
故选:D.
8.对于抛物线y=﹣(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(﹣1,3);
④x>1时,y随x的增大而减小,
其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.
【解答】解:①∵a=﹣<0,
∴抛物线的开口向下,正确;
②对称轴为直线x=﹣1,故本小题错误;
③顶点坐标为(﹣1,3),正确;
④∵x>﹣1时,y随x的增大而减小,
∴x>1时,y随x的增大而减小一定正确;
综上所述,结论正确的个数是①③④共3个.
故选:C.
二、填空题(每题3分,共24分)
9.(2017银川数学)分解因式:2a2﹣4a+2= 2(a﹣1)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】原式提取2,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:原式=2(a2﹣2a+1)
=2(a﹣1)2.
故答案为:2(a﹣1)2.
10.计算: +|﹣3|﹣= 4﹣2 .
【考点】实数的运算;零指数幂.
【分析】原式利用零指数幂法则,绝对值的代数意义,以及二次根式性质计算即可得到结果.
【解答】解:原式=1+3﹣2=4﹣2.
故答案为:4﹣2
11.当m= 1 时,函数是二次函数.
【考点】二次函数的定义.
【分析】根据二次函数的定义列式计算即可得解.
【解答】解:根据题意得:m2+1=2且m+1≠0,
解得m=±1且m≠﹣1,
所以m=1.
故答案为:1.
12.在半径为18的圆中,120°的圆心角所对的弧长是 12π .
【考点】弧长的计算.
【分析】利用弧长公式,即可直接求解.
【解答】解:弧长是: =12π.
故答案是:12π.
13.如图,⊙O的内接正六边形的边长是6,则边心距为 3 .
【考点】正多边形和圆.
【分析】连接OC、OB,证出△BOC是等边三角形,根据锐角三角函数的定义求解即可.
【解答】解:如图所示,连接OC、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠AOB=60°,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OB=AB=6,∠OBG=60°,
∴OG=OB•sin∠OBG=6×=3,
故答案为:3.
14.(2017银川数学)抛物线y=2(x﹣3)(x+2)的顶点坐标是 (,﹣) .
【考点】二次函数的性质.
【分析】先把抛物线y=2(x﹣3)(x+2)化成顶点式,再根据抛物线y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h,k),写出顶点坐标即可.
【解答】解:∵y=2(x﹣3)(x+2)=2(x2﹣x﹣6)=2[(x﹣)2﹣]=2(x﹣)2﹣,
∴抛物线y=2(x﹣3)(x+2)的顶点坐标是(,﹣);
故答案为:(,﹣).
15.如图,P为正三角形ABC外接圆上一点,则∠APB为 120° .
【考点】圆周角定理;等边三角形的性质.
【分析】根据等边三角形的性质得到∠C=60°,根据圆内接四边形的性质计算即可.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°,
由圆内接四边形的性质可知,∠APB=180°﹣∠C=120°,
故答案为:120°.
16.(2017银川数学)如图,在正方形ABCD中,对角线BD的长为.若将BD绕点B旋转后,点D落在BC延长线上的点D′处,点D经过的路径为弧DD′,则图中阴影部分的面积是 .
【考点】扇形面积的计算.
【分析】要求阴影部分的面积只要求出扇形BDD′和三角形BCD的面积,然后作差即可,扇形BDD′是以BD为半径,所对的圆心角是45°,根据正方形ABCD和BD的长可以求得BC的长,从而可以求得三角形BCD的面积.
【解答】解:设BC的长为x,
解得,x=1,
即BC=1,
∴S阴影CDD′=S扇形BDD′﹣S△BCD==,
故答案为:.
三、解答题(共72分)
17.解不等式组.
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:解不等式x﹣3(x﹣2)≤4,得:x≥1,
解不等式>,得:x>5,
∴不等式组的解集为:x>5.
18.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=﹣1.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简,再把a的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=÷
=×
=a+1.
当a=﹣1时,原式=﹣1+1=.
19.(2017银川数学)袋子中装有三个完全相同的球,分别标有:“1”“2”“3”,小颖随机从中摸出一个球不放回,并以该球上的数字作为十位数;小颖再摸一个球,以该球上的数字作为个位数,那么,所得数字是偶数的概率是多少?(要求画出树状图或列出表格进行解答.)
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与所得数字是偶数的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:画树状图得:
∵共有6种等可能的结果,所得数字是偶数的有2种情况,
∴所得数字是偶数的概率是: =.
20.在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,1),B(﹣4,5),C(﹣5,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.
【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换.
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A2、B2、C2的位置,然后顺次连接即可.
【解答】解:(1)△A1B1C1如图所示;
(2)△A2B2C2如图所示.
21.(2017银川数学)近几年我市加大中职教育投入力度,取得了良好的社会效果.某校随机调查了九年级m名学生的升学意向,并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图.请你根据图中的信息解答下列问题:
(1)m= 40 ;
(2)扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角α= 108° ;
(3)请补全条形统计图;
(4)若该校九年级有学生900人,估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)用其他的人数除以所占的百分比,即为九年级学生的人数m;
(2)职职高所占的百分比为1﹣60%﹣10%,再乘以360°即可;
(3)根据普高和职高所占的百分比,求得学生数,补全图即可;
(4)用职高所占的百分比乘以900即可.
【解答】解:(1)4÷10%=40(人),
(2)(1﹣60%﹣10%)×360°=30%×360°=108°;
(3)普高:60%×40=24(人),
职高:30%×40=12(人),
如图.
(4)900×30%=270(名),
该校共有270名毕业生的升学意向是职高.
故答案为:40,108°.
22.如图,已知▱ABCD中,F是BC边的中点,连接DF并延长,交AB的延长线于点E.求证:AB=BE.
【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC,AB∥CD,推出∠C=∠FBE,∠CDF=∠E,证△CDF≌△BEF,推出BE=DC即可.
【解答】证明:∵F是BC边的中点,
∴BF=CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥CD,
∴∠C=∠FBE,∠CDF=∠E,
∵在△CDF和△BEF中
∴△CDF≌△BEF(AAS),
∴BE=DC,
∵AB=DC,
∴AB=BE.
23.(2017银川数学)如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,背水坡AB的长为12m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为2:3的斜坡AD.求DB的长.(结果保留根号)
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】根据题意要求DB的长,就要先求出CD和BC的长,也就是要先求出AC的长.直角三角形ACB中,有坡角的度数,有AB的长,易求得AC.
【解答】解:Rt△ABC中,∠ABC=45°.
∴AC=AB•sin45°=12×=6(米).
∴BC=AC=6米,
Rt△ACD中,AD的坡比为2:3.
∴AC:CD=2:3.
∴CD=9米,
∴DB=DC﹣BC=3米,
答:DB的长为3m.
24.如图,AB是⊙0的直径,AB=10,C、D是⊙O上的点,∠CDB=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E,则OE等于多少?
【考点】切线的性质.
【分析】连接OC.由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可求得∠COB=60°,然后由切线的性质可证明∠CCE=90°,根据三角形的内角和是180°可求得∠CEO=30°,依据含30°直角三角形的性质可知OE=2OC.
【解答】解:连接OC.
∵∠CDB=30°,
∴∠COB=60°.
∵CE是⊙O的切线,
∴∠CCE=90°.
∴∠CEO=30°.
∴OE=2OC=AB=10.
25.(2017银川数学)如图,⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E,F为DC延长线上一点,且∠CBF=∠CDB.
(1)求证:FB为⊙O的切线;
(2)若AB=8,CE=2,求⊙O的半径.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OB,根据圆周角定理证得∠CBD=90°,然后根据等边对等角以及等量代换,证得∠OBF=90°即可证得;
(2)首先利用垂径定理求得BE的长,根据勾股定理得出方程,即可求得圆的半径.
【解答】(1)证明:连接OB,如图所示:
∵CD是直径,
∴∠CBD=90°,
又∵OB=OD,
∴∠OBD=∠D,
又∠CBF=∠D,
∴∠CBF=∠OBD,
∴∠CBF+∠OBC=∠OBD+∠OBC,
∴∠OBF=∠CBD=90°,即OB⊥BF,
∴FB为⊙O的切线;
(2)解:∵CD是圆的直径,CD⊥AB,
∴BE=AB=4,
设圆的半径是R,
在直角△OEB中,根据勾股定理得:R2=(R﹣2)2+42,
解得:R=5,
即⊙O的半径为5.
26.(2017银川数学)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按拟定的价格进行试销,通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据:
单价(元/件) | 30 | 34 | 38 | 40 | 42 |
销量(件) | 40 | 32 | 24 | 20 | 16 |
(1)计算这5天销售额的平均数(销售额=单价×销量);
(2)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系,求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围);
(3)预计在今后的销售中,销量与单价仍然存在(2)中的关系,且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据题中表格中的数据列出算式,计算即可得到结果;
(2)设y=kx+b,从表格中找出两对值代入求出k与b的值,即可确定出解析式;
(3)设定价为x元时,工厂获得的利润为W,列出W与x的二次函数解析式,利用二次函数性质求出W最大时x的值即可.
【解答】解:(1)根据题意得: =934.4(元);
(2)根据题意设y=kx+b,
把(30,40)与(40,20)代入得:,
解得:k=﹣2,b=100,
则y=﹣2x+100;
(3)设定价为x元时,工厂获得的利润为W,
根据题意得:W=(x﹣20)y=(x﹣20)(﹣2x+100)=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2(x﹣35)2+450,
∵当x=35时,W最大值为450,
则为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为35元.
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