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半角公式和二倍角公式大全

2019-12-25 14:25:06文/颜雨

半角公式是利用某个角(如∠A)的正弦值、余弦值、正切值,及其他三角函数值,来求其半角的正弦值二倍角公式是通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值。接下来分享半角公式和二倍角公式及其推导过程。

半角公式和二倍角公式大全

二倍角公式大全

Sin2a=2Sina*Cosa

Cos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1

tan2a=(2tana)/(1-tana^2)

二倍角公式推导过程

①正弦二倍角公式:

sin2α=2cosαsinα

推导:sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa

拓展公式:sin2a=2sinacosa=2tanacosa^2=2tana/[1+tana^2] 1+sin2a=(sina+cosa)^2

②余弦二倍角公式:

余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价:

1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]

2.Cos2a=1-2Sina^2

3.Cos2a=2Cosa^2-1

cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2。

③正切二倍角公式:

tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]

推导:tan2a=tan(a+a)=(tana+tana)/(1-tanatana)=2tana/[1-(tana)^2]。

半角公式

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα))

半角公式推导过程

已知公式

sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα

cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α①

半角正弦公式

由等式①,整理得:sin²α=1-cosα/2

将α/2带入α,整理得:sin²α/2=1-cosα/2

开方,得sinα/2=±√((1-cosα)/2)

半角余弦公式

由等式①,整理得:cos2α+1=2cos²α

将α/2带入,整理得:cos²α/2=cosα+1/2

开方,得cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

半角正切公式

tan(α/2)=[sin(α/2)]/[cos(α/2)]=±√((1-cosα)/((1+cosα))

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