闭区间上连续函数的性质有哪些

有界性（最大值和最小之定理）：在闭区间上连续函数在该区间上有界且取得它的最大值和最小值。零点定理：设函数F(x)在闭区间[a,b]上连续函数，且F(a)与F(b)异号，那么在开区间（a,b)内至少有函数F(x)的一个零点，即至少有一点t(a<t<b),使F(t)=0。

闭区间上连续函数的性质

1.有界性（最大值和最小之定理）：在闭区间上连续函数在该区间上有界且取得它的最大值和最小值。

2.零点定理：设函数F(x)在闭区间[a,b]上连续函数，且F(a)与F(b)异号，那么在开区间（a,b)内至少有函数F(x)的一个零点，即至少有一点t(a<t<b),使F(t)=0。

3.介值定理：设函数F(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的短短取不同的函数值F(x)=A及F(x)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a,b）内至少有一点t,使得F(t)=C（a<c<b)。

闭区间上连续函数的知识点

(1)(最值定理)闭区间上的连续函数必取得最大值，最小值。

(2)(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点

(3)(零点定理)闭区间上的连续函数如果两个端点函数值异号，则至少存在一点的函数值为0.

(4)(有界性)闭区间上的连续函数在该闭区间上必有界。

为什么函数在闭区间内连续不一定有界

其实在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

所以闭区间上的连续函数一定是有界的。

根据连续函数的性质，闭区间上的连续函数必存在最大值M和最小值n,我们取这两者绝对值较大者为K，显然k是这函数的一个界。即闭区间内连续必有界。

但是，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，因而存在函数极限趋于无穷大的情况。比如，y=1/x在(0,+∞）上无最大值和最小值，且x→0+，y→+∞。y=1/x在(0,+∞）上无界。