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1/(1+x)的泰勒展开式

2023-09-07 10:36:28文/陈宇航

1/(1+x)=1/[1-(-x)]=1-x+x^2-x^(-3)+...=sum{(-1)^k*x^k,k=0..infinity}。函数的泰勒展开式要以某点为中心展开,若以原点(x=0)为中心展开,为泰勒级数的特殊形式麦克劳林公式,若没有考虑x=x0,x0为任意值,不算完整解答该函数泰勒展开式。

1/(1+x)的泰勒展开式

几何意义:

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数,由于多项式函数可以任意次求导,易于计算,且便于求解极值或者判断函数的性质,因此可以通过泰勒公式获取函数的信息,同时,对于这种近似,必须提供误差分析,来提供近似的可靠性。

泰勒公式的余项有两类:一类是定性的皮亚诺余项,另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同,但是作用不同。

一般来说,当不需要定量讨论余项时,可用皮亚诺余项(如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题);当需要定量讨论余项时,要用拉格朗日余项(如利用泰勒公式近似计算函数值)

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