二次函数的动点问题
例1 ( 宿迁)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x²-2x-3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方的部分沿X轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC,BC.
(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式.
(2)求△ABC外接圆的半径.
(3)点P为曲线M或曲线N上的一个动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.
二次函数的存在点问题
例2 (安顺)如图3甲,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B,C,经过B,C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以CPM为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值(图3乙和图3丙供画图探究使用).
二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
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