A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180° C.∠1=∠4 D.∠3=∠4
3.(3分)在体育课上,甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试,经计算他们的平均成绩相同.若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定,通常需要比较他们成绩的( )
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差
4.(3分)将不等式组的解集表示在数轴上,下面表示正确的是( )
A. B C. D.
5.(3分)下列运算错误的是( )
A.(﹣1)0=1 B.(﹣3)2÷= C.5x2﹣6x2=﹣x2 D.(2m3)2÷(2m)2=m4
6.(3分)如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC′D,C′D与AB交于点E.若∠1=35°,则∠2的度数为( )
A.20° B.30° C.35° D.55°
7.(3分)化简﹣的结果是( )
A.﹣x2+2x B.﹣x2+6x C.﹣ D.
8.(3分)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计,仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为( )
A.186×108吨 B.18.6×109吨 C.1.86×1010吨 D.0.186×1011吨
9.(3分)公元前5世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数,导致了第一次数学危机,是无理数的证明如下:
假设是有理数,那么它可以表示成(p与q是互质的两个正整数).于是()2=()2=2,所以,q2=2p2.于是q2是偶数,进而q是偶数,从而可设q=2m,所以(2m)2=2p2,p2=2m2,于是可得p也是偶数.这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾.从而可知“是有理数”的假设不成立,所以,是无理数.
这种证明“是无理数”的方法是( )
A.综合法 B.反证法 C.举反例法 D.数学归纳法
10.(3分)如图是某商品的标志图案,AC与BD是⊙O的两条直径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四边形ABCD.若AC=10cm,∠BAC=36°,则图中阴影部分的面积为( )
A.5πcm2 B.10πcm2 C.15πcm2 D.20πcm2
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)计算:4﹣9= .
12.(3分)某商店经销一种品牌的洗衣机,其中某一型号的洗衣机每台进价为a元,商店将进价提高20%后作为零售价进行销售,一段时间后,商店又以9折优惠价促销,这时该型号洗衣机的零售价为 元.
13.(3分)如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(﹣1,1),C(﹣2,2),将△ABC向右平移4个单位,得到△A′B′C′,点A,B,C的对应点分别为A′、B′、C′,再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A′、B′、C′的对应点分别为A″、B″、C″,则点A″的坐标为 .
14.(3分)把直线y=3x向下平移2个单位后所得到直线的解析式为y= .
15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连结DE,则DE的最小值为 .
三、解答题(本大题共5个小题,共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)(1)解方程:.
(2)分解因式:(y+2x)2﹣(x+2y)2.
17.(6分)已知:如图,在▱ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.
求证:OE=OF.
18.(10分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,其边长为2,点A,点C分别在x轴,y轴的正半轴上,函数y=2x的图象与CB交于点D,函数y=(k为常数,k≠0)的图象经过点D,与AB交于点E,与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F,连接AF、EF.
(1)求函数y=的表达式,并直接写出E、F两点的坐标;
(2)求△AEF的面积.
19.(10分)“春种一粒粟,秋收万颗子”,唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”),被誉为中华民族的哺育作物.我省有着“小杂粮王国”的美誉,谷子作为我省杂粮谷物中的大类,其种植面积已连续三年全国第一.2016年全国谷子种植面积为2000万亩,年总产量为150万吨,我省谷子平均亩产量为160kg,国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg,请解答下列问题:
(1)求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩.
(2)2017年,若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变,要使我省谷子的年总产量不低于52万吨,那么,今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子?
20.(19分)综合与实践
背景阅读 早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中,为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形,例如:三边长分别为9,12,15或3,4,5的三角形就是(3,4,5)型三角形,用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.
实践操作 如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.
第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.
第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.
第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD′H,再沿AD′折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.
问题解决
(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形.
(2)请在图4中判断NF与ND′的数量关系,并加以证明;
(3)请在图4中证明△AEN(3,4,5)型三角形;
探索发现
(4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.
2018晋城中考数学冲刺压轴试题参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.
1.(3分)计算﹣1+2的结果是( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
【解答】解:﹣1+2=1.
故选:C.
2.(3分)如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180° C.∠1=∠4 D.∠3=∠4
【解答】解:由∠1=∠3,可得直线a与b平行,故A能判定;
由∠2+∠4=180°,∠2=∠5,∠4=∠3,可得∠3+∠5=180°,故直线a与b平行,故B能判定;
由∠1=∠4,∠4=∠3,可得∠1=∠3,故直线a与b平行,故C能判定;
由∠3=∠4,不能判定直线a与b平行,
故选:D.
3.(3分)在体育课上,甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试,经计算他们的平均成绩相同.若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定,通常需要比较他们成绩的( )
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差
【解答】解:因为方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则各数据与其平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则各数据与其平均值的离散程度越小,稳定性越好;所以要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定,通常需要比较他们成绩的方差.
故选:D.
4.(3分)将不等式组的解集表示在数轴上,下面表示正确的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:
解不等式①得,x≤3
解不等式②得,x>﹣4
在数轴上表示为:
故选:A.
5.(3分)下列运算错误的是( )
A.(﹣1)0=1 B.(﹣3)2÷= C.5x2﹣6x2=﹣x2 D.(2m3)2÷(2m)2=m4
【解答】解:A、(﹣1)0=1,正确,不符合题意;
B、(﹣3)2÷=4,错误,符合题意;
C、5x2﹣6x2=﹣x2,正确,不符合题意;
D、(2m3)2÷(2m)2=m4,正确,不符合题意;
故选:B.
6.(3分)如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC′D,C′D与AB交于点E.若∠1=35°,则∠2的度数为( )
A.20° B.30° C.35° D.55°
【解答】解:∵∠1=35°,CD∥AB,
∴∠ABD=35°,∠DBC=55°,
由折叠可得∠DBC'=∠DBC=55°,
∴∠2=∠DBC'﹣∠DBA=55°﹣35°=20°,
故选:A.
7.(3分)化简﹣的结果是( )
A.﹣x2+2x B.﹣x2+6x C.﹣ D.
【解答】解:原式=﹣
=
=﹣
故选:C.
8.(3分)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计,仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为( )
A.186×108吨 B.18.6×109吨 C.1.86×1010吨 D.0.186×1011吨
【解答】解:186亿吨=1.86×1010吨.
故选:C.
9.(3分)公元前5世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数,导致了第一次数学危机,是无理数的证明如下:
假设是有理数,那么它可以表示成(p与q是互质的两个正整数).于是()2=()2=2,所以,q2=2p2.于是q2是偶数,进而q是偶数,从而可设q=2m,所以(2m)2=2p2,p2=2m2,于是可得p也是偶数.这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾.从而可知“是有理数”的假设不成立,所以,是无理数.
这种证明“是无理数”的方法是( )
A.综合法 B.反证法 C.举反例法 D.数学归纳法
【解答】解:由题意可得:这种证明“是无理数”的方法是反证法.
故选:B.
10.(3分)如图是某商品的标志图案,AC与BD是⊙O的两条直径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四边形ABCD.若AC=10cm,∠BAC=36°,则图中阴影部分的面积为( )
A.5πcm2 B.10πcm2 C.15πcm2 D.20πcm2
【解答】解:∵AC与BD是⊙O的两条直径,
∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°,
∴四边形ABCD是矩形,
∴△ABO与△CDO的面积的和=△AOD与△BOC的面积的和,
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD,
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠ABO=36°,
∴∠AOD=72°,
∴图中阴影部分的面积=2×=10π,
故选:B.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)计算:4﹣9= 3 .
【解答】解:原式=12=3,
故答案为:3.
12.(3分)某商店经销一种品牌的洗衣机,其中某一型号的洗衣机每台进价为a元,商店将进价提高20%后作为零售价进行销售,一段时间后,商店又以9折优惠价促销,这时该型号洗衣机的零售价为 1.08a 元.
【解答】解:由题意可得,
该型号洗衣机的零售价为:a(1+20%)×0.9=1.08a(元),
故答案为:1.08a.
13.(3分)如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(﹣1,1),C(﹣2,2),将△ABC向右平移4个单位,得到△A′B′C′,点A,B,C的对应点分别为A′、B′、C′,再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A′、B′、C′的对应点分别为A″、B″、C″,则点A″的坐标为 (6,0) .
【解答】解:如图所示:
∵A(0,4),B(﹣1,1),C(﹣2,2),将△ABC向右平移4个单位,得到△A′B′C′,
∴A′、B′、C′的坐标分别为(4,4),B(3,1),C(2,2),
再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,
则点A″的坐标为 (6,0);
故答案为:(6,0).
14.(3分)把直线y=3x向下平移2个单位后所得到直线的解析式为y= 3x﹣2 .
【解答】解:把直线y=3x向下平移2个单位后所得到直线的解析式为y=3x﹣2.
故答案为3x﹣2.
15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连结DE,则DE的最小值为 4.8 .
【解答】解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10,
连接CP,
∵PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,
∴四边形DPEC是矩形,
∴DE=CP,
当DE最小时,则CP最小,根据垂线段最短可知当CP⊥AB时,则CP最小,
∴DE=CP==4.8,
故答案为:4.8.
三、解答题(本大题共5个小题,共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)(1)解方程:.
(2)分解因式:(y+2x)2﹣(x+2y)2.
【解答】解:(1)方程两边同时×(x﹣1),得:2x﹣3=x﹣1,
移项、合并同类项,得:x=2,
经检验,x=2是原分式方程的解,且符合题意,∴原分式方程的解为:x=2.
(2)原式=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)﹣(x+2y)],
=(2x+y+x+2y)(2x+y﹣x﹣2y),
=(3x+3y)(x﹣y),
=3(x+y)(x﹣y),
=3x2﹣3y2.
17.(6分)已知:如图,在▱ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.
求证:OE=OF.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵BE=DF,
∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF,
∵AB∥CD,
∴AE∥CF,
∴∠E=∠F,∠OAE=∠OCF,
在△AOE和△COF中,,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
18.(10分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,其边长为2,点A,点C分别在x轴,y轴的正半轴上,函数y=2x的图象与CB交于点D,函数y=(k为常数,k≠0)的图象经过点D,与AB交于点E,与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F,连接AF、EF.
(1)求函数y=的表达式,并直接写出E、F两点的坐标;
(2)求△AEF的面积.
【解答】解:(1)∵正方形OABC的边长为2,
∴点D的纵坐标为2,即y=2,
将y=2代入y=2x,得x=1,
∴点D的坐标为(1,2),
∵函数y=的图象经过点D,
∴2=,
解得k=2,
∴函数y=的表达式为y=,
∴E(2,1),F(﹣1,﹣2);
(2)过点F作FG⊥AB,与BA的延长线交于点G,
(3)∵E(2,1),F(﹣1,﹣2),
∴AE=1,
FG=2﹣(﹣1)=3,
∴△AEF的面积为: AE•FG=×1×3=.
19.(10分)“春种一粒粟,秋收万颗子”,唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”),被誉为中华民族的哺育作物.我省有着“小杂粮王国”的美誉,谷子作为我省杂粮谷物中的大类,其种植面积已连续三年全国第一.2016年全国谷子种植面积为2000万亩,年总产量为150万吨,我省谷子平均亩产量为160kg,国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg,请解答下列问题:
(1)求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩.
(2)2017年,若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变,要使我省谷子的年总产量不低于52万吨,那么,今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子?
【解答】解:(1)设我省2016年谷子的种植面积是x万亩,其他地区谷子的种植面积是y万亩,依题意有
,
解得.
答:我省2016年谷子的种植面积是300万亩.
(2)设我省应种植z万亩的谷子,依题意有
,
解得z≥325,
325﹣300=25(万亩).
答:今年我省至少应再多种植25万亩的谷子.
20.(19分)综合与实践
背景阅读 早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中,为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形,例如:三边长分别为9,12,15或3,4,5的三角形就是(3,4,5)型三角形,用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.
实践操作 如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.
第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.
第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.
第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD′H,再沿AD′折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.
问题解决
(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形.
(2)请在图4中判断NF与ND′的数量关系,并加以证明;
(3)请在图4中证明△AEN(3,4,5)型三角形;
探索发现
(4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠DAE=90°,
由折叠的性质得,AE=AD,∠AEF=∠D=90°,
∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°,
∴四边形AEFD是矩形,
∵AE=AD,
∴矩形AEFD是正方形;
(2)解:NF=ND′,
理由:连接HN,由折叠得,∠AD′H=∠D=90°,HF=HD=HD′,
∵四边形AEFD是正方形,
∴∠EFD=90°,
∵∠AD′H=90°,
∴∠HD′N=90°,
在Rt△HNF与Rt△HND′中,,
∴Rt△HNF≌Rt△HND′,
∴NF=ND′;
(3)解:∵四边形AEFD是正方形,
∴AE=EF=AD=8cm,
由折叠得,AD′=AD=8cm,
设NF=xcm,则ND′=xcm,
在Rt△AEN中,
∵AN2=AE2+EN2,
∴(8+x)2=82+(8﹣x)2,
解得:x=2,
∴AN=8+x=10cm,EN=6cm,
∴EN:AE:AN=3:4:5,
∴△AEN是(3,4,5)型三角形;
(4)解:图4中还有△MFN,△MD′H,△MDA是(3,4,5)型三角形,
∵CF∥AE,
∴△MFN∽△AEN,
∵EN:AE:AN=3:4:5,
∴FN:MF:CN=3:4:5,
∴△MFN是(3,4,5)型三角形;
同理,△MD′H,△MDA是(3,4,5)型三角形.